矩阵代数_part2
来源:互联网 发布:淘宝月销量可以造假吗 编辑:程序博客网 时间:2024/05/21 08:47
【Section】Rn的子空间
【定义】Rn中的一个子空间是Rn中的集合H,具有以下三个性质:
a.零向量属于H; b.对H中任意的向量u和v,u+v属于H; c. 对H中任意向量u和数c,cu属于H。
一个特殊的子空间是仅含零向量的集合,它也满足子空间的条件,称为零子空间。
【定义】矩阵A的列空间是A的各列的线性组合的集合,记作Col A。
【定义】矩阵A的零空间是齐次方程Ax=0的所有解的集合,记为Nul A。
【定义】Rn中子空间H的一组基是H中一个线性无关集,它生成H。一个这样的nXn单位矩阵,它的各列用e1,…,en表示:
{e1,…,en}称为Rn的标准基。
【定理13】矩阵A的主元列构成列空间的基。
【Section】维数与秩
【定义】假设b={b1,…,bp}是子空间H的一组基,对H中的每一个向量x,相对于基b的坐标是使x=c1b1+ … + cpbp成立的权值c1,…cp,且Rp中的向量
称为x(相对于b)的坐标向量,或x的b-坐标向量。
【定义】非零子空间H的维数,用dimH表示,是H的任意一个基的向量个数。零子空间{0}的维数定义为零。
【定义】矩阵A的秩(记为rank A)是A的列空间的维数。
【定理14】(秩定理)如果一矩阵A有n列,则rankA + dim Nul A =n。
【理解阐述】维数是子空间任意基的个数,那么,秩就是列空间基的个数。 有零空间的生成(即Ax=0求解)知道,dimNul A就是解中自由变量的个数,它与基个数之和恰好为n。
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