行列式_part2

【Section】克拉默法则、体积和线性变换

对任意nXn矩阵A和任意的Rn中向量b，令A_i(b)表示A中第i列由向量b替换得到的矩阵。

【定理7】（克拉默法则）设A是一个可逆的nXn矩阵，对Rn中任意向量b，方程Ax=b的唯一解可由下列给出

【注意】x_i中的i是解列向量中的第i个元素，A_i(b)是指将A中的i列替换为b。注意这两个i的含义。

 

求A^-1的公式

由克拉默法可以容易导出一个nXn矩阵A的逆的一般公式。A^-1的第j列是一个向量x，满足

Ax= e_j

此处ej是单位矩阵的第j列，x的第i个数值是A^-1中(i, j)位置的数值，由克拉默法则

【理解阐述】上面的式子是求A^-1的关键步骤，存在2个点需要说明：

1.如何将克拉默法则转换为余因子C_ji的计算？

    克拉默法则是将A的第i列替换为单位阵的第j列，（替换后的A矩阵的第i列只有第j个元素为1，其余都为0，）计算该行列式的值可以使用以前的按照列展开的余因子计算，但第i列中，除了第j行其他都为零，相当于，替换后的行列式A的值就等于替换前矩阵A的第j行第i列的余因子。

2.为什么是C_ji，而不是C_ij？

    正如前面所说，单位阵的第j列向量放在了A矩阵的第i列，在计算行列式时，该行列式的值相当于第j行第i列的余因子。

 

【定理9】若A是一个2X2矩阵，则由A的列确定的平行四边形的面积为|detA|，若A是一个3X3的矩阵，则由A的列确定的平行六边形的体积为|detA|。

 

【定理10】设T：R²->R²是由一个2X2矩阵A确定的线性变换，若S是R2中的一个平行四边形，则

{T(S)的面积}=|det A|*{S的面积}

若T是一个3X3矩阵A确定的线性变换，而S是R3中的一个平行六面体，则

{T(S)的体积}=|det A|*{S 的体积}