数据结构面试之九——图的常见操作3之最小生成树

题注：《面试宝典》有相关习题，但思路相对不清晰，排版有错误，作者对此参考相关书籍和自己观点进行了重写，供大家参考。

九、图的常见操作3之最小生成树

最小生成树——包含带权图中的全部顶点并不能形成环，且权值之和最小的图。

求解最小生成树的方法包括：Prim算法和Kruskal算法。

对于Prim算法思想：1）从源结点集中选定一个源结点（初始源节点集合中只有设定一个结点）；2）从剩余结点中选择与源节点集有连接的且权值最小的边。将该源节点加入源节点集合中。然后迭代执行1），2）。

如下图的图结构，含有7个顶点，下图示为图的邻接矩阵存储结构。

 

Vertex 0

Vertex 1

Vertex 2

Vertex 3

Vertex 4

Vertex 5

Vertex 6

Vertex 0

0

6

5

2

∞

∞

∞

Vertex 1

6

0

∞

∞

2

∞

4

Vertex 2

5

∞

0

∞

∞

7

5

Vertex 3

2

∞

∞

0

8

∞

∞

Vertex 4

∞

2

∞

8

0

10

∞

Vertex 5

∞

∞

7

∞

10

0

∞

Vertex 6

∞

4

5

∞

∞

∞

0

 

模拟执行步骤如下：

前提：源节点集合VertexSet中初始只有设定的0（假定，可以任意取0à6中任意值）。起初初始的边结合EdgeSet为空。

步骤1：从与0相连的边集合中，选定权值最小的边，对应上图Vertex0行显然为2。所以选择的顶点为Vertex3。

VertexSet

EdgeSet

SumWeight

0,3

（0,3）

2

 

步骤2：从与{0,3}相连的边集合中，选定权值最小的边，如下图，显然权值为5。所以选择的顶点为Vertex2。

 

Vertex 0

Vertex 1

Vertex 2

Vertex 3

Vertex 4

Vertex 5

Vertex 6

Vertex 0

0

6

5√

×

∞

∞

∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vertex 3

×

∞

∞

0

8

∞

∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

集合变为：

VertexSet

EdgeSet

SumWeight

0,3,2

（0,3）(0,2)

2+5

 

 

步骤3：从与{0,3,2}相连的边集合中，选定权值最小的边，如下图，显然权值为4。所以选择的顶点为Vertex6。

 

Vertex 0

Vertex 1

Vertex 2

Vertex 3

Vertex 4

Vertex 5

Vertex 6

Vertex 0

0

6

×

×

∞

∞

∞

 

 

 

 

 

 

 

 

Vertex 2

×

∞

0

∞

∞

7

5,√

Vertex 3

×

∞

∞

0

8

∞

∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

集合变为：

VertexSet

EdgeSet

SumWeight

0,3,2,6

（0,3）(0,2)（2,6）

2+5+5

 

步骤4：从与{0,3,2,6}相连的边集合中，选定权值最小的边，如下图，显然权值为5。所以选择的顶点为Vertex1。

 

Vertex 0

Vertex 1

Vertex 2

Vertex 3

Vertex 4

Vertex 5

Vertex 6

Vertex 0

0

6

×

×

∞

∞

∞

 

 

 

 

 

 

 

 

Vertex 2

×

∞

0

∞

∞

7

×

Vertex 3

×

∞

∞

0

8

∞

∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vertex 6

∞

4√

×

∞

∞

∞

0

集合变为：

VertexSet

EdgeSet

SumWeight

0,3,2,6,1

（0,3）(0,2)（2,6）(6,1)

2+5+5+4

 

步骤5：从与{0,3,2,6,1}相连的边集合中，选定权值最小的边，如下图，显然权值为2。所以选择的顶点为Vertex4。

 

Vertex 0

Vertex 1

Vertex 2

Vertex 3

Vertex 4

Vertex 5

Vertex 6

Vertex 0

0

6

×

×

∞

∞

∞

Vertex 1

6

0

∞

∞

2√

∞

×

Vertex 2

×

∞

0

∞

∞

7

×

Vertex 3

×

∞

∞

0

8

∞

∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vertex 6

∞

×

×

∞

∞

∞

0

集合变为：

VertexSet

EdgeSet

SumWeight

0,3,2,6,1,4

（0,3）(0,2)（2,6）(6,1)（1,4）

2+5+5+4+2

 

步骤6：从与{0,3,2,6,1,4}相连的边集合中，选定权值最小的边，如下图，显然权值为2。所以选择的顶点为Vertex4。

 

Vertex 0

Vertex 1

Vertex 2

Vertex 3

Vertex 4

Vertex 5

Vertex 6

Vertex 0

0

6

×

×

∞

∞

∞

Vertex 1

6

0

∞

∞

×

∞

×

Vertex 2

×

∞

0

∞

∞

7√

×

Vertex 3

×

∞

∞

0

8

∞

∞

Vertex 4

∞

×

∞

8

0

10

∞

 

 

 

 

 

 

 

 

Vertex 6

∞

×

×

∞

∞

∞

0

集合变为：

VertexSet

EdgeSet

SumWeight

0,3,2,6,1,4,5

（0,3）(0,2)（2,6）(6,1)（1,4）(2,5)

2+5+5+4+2+7

 

最后：遍历后的结果如下2图：即包含所有顶点，没有环路，且权值最小。

 

Vertex 0

Vertex 1

Vertex 2

Vertex 3

Vertex 4

Vertex 5

Vertex 6

Vertex 0

0

6

×

×

∞

∞

∞

Vertex 1

6

0

∞

∞

×

∞

×

Vertex 2

×

∞

0

∞

∞

×

×

Vertex 3

×

∞

∞

0

8

∞

∞

Vertex 4

∞

×

∞

8

0

10

∞

Vertex 5

∞

∞

×

∞

10

0

∞

Vertex 6

∞

×

×

∞

∞

∞

0

 

VertexSet

EdgeSet

SumWeight

0,3,2,6,1,4,5

（0,3）(0,2)（2,6）(6,1)（1,4）(2,5)

2+5+5+4+2+7=25

 

//inifinity 代表权值无穷大，即不可达。int g_WeightMatrix[7][7] ={0,6,5,2,infinity,infinity,infinity,                                                 6,0,infinity,infinity,2,infinity,4,                                                 5,infinity,0,infinity,infinity,7,5,                                                 2,infinity,infinity,0,8,infinity,infinity,                                                 infinity,2,infinity,8,0,10,infinity,                                                 infinity,infinity,7,infinity,10,0,infinity,                                                 infinity,4,5,infinity,infinity,infinity,0}; template<class vType, int size>class msTreeType : publicgraphType<vType, size>{public:       voidcreateSpanningGraph();       voidminimalSpanning(vType sVertex);       voidprintTreeAndWeight();protected:       vTypesource;             //       intweights[size][size];  //权重数组       intedges[size];          //边的集合,edges[0]=5即代表0-5之间有边存在。       intedgeWeights[size];    //存储从某顶点开始的权重.};

1.创建权重图

创建权重图的时候，我们做了简化处理。只是将给定的权重数组赋值过来了。[此处稍作修改，便可以改为手动输入顶点及邻接边的关系]。图的存储形式：邻接矩阵存储！

template <class vType, int size>voidmsTreeType<vType,size>::createSpanningGraph(){       gSize= size;       source= 0;                   //记录初始点为0.       for(int i = 0; i < size; i++)       {              for(int j =0; j < size; j++)              {                     weights[i][j]= g_WeightMatrix[i][j];                     if(weights[i][j]!= 0 && weights[i][j] != infinity)                     {                            edges[i]= j;            //代表i--j之间的连线存在                     //     cout << "edges[ " <<i << " ]=" << edges[i] << "\t";                     }                     cout<< weights[i][j] << "\t";              }              cout<< endl;       }}

2.最小生成树

1.巧妙的记录源结点、目标结点的方法(通过数组下标和结果值）；2.还需要存储每次比较后的最小的权重值。

template <class vType, int size>voidmsTreeType<vType,size>::minimalSpanning(vType sVertex){       vType startVertex, endVertex;       int minWeight;       source = sVertex; //代表mstree的结点结合中是否存在点. mstv[5] =true,代表结点5在集合中已经存在。//=false,则代表不存在.       bool mstv[size]; //初始化 0代表到自身, infinity代表不可达.       for(int j = 0; j < gSize; j++)       {              mstv[j]= false;              edges[j]= source;              edgeWeights[j]= weights[source][j];       }        mstv[source]= true;       edgeWeights[source]= 0;       //初始设定        for(int i = 0; i < gSize-1; i++)       {              minWeight= infinity;    //从所有顶点中寻找权重最小且未被标识的顶点,v记录该顶点,minWeight记录权重值。              for(int j = 0; j < gSize; j++)              {                     if(mstv[j])//mstv中已经存在的点j                     {                            for(intk=0; k < gSize; k++)                            {                                   //寻找由已经存在的结点中到剩余结点权值最小的边。                                   if(!mstv[k]&& weights[j][k] < minWeight)                                    {                                          endVertex= k;    //目的                                          startVertex= j;  //源                                          minWeight= weights[j][k]; //最小权重                                   }                            }//endfor k                     }//endif(mstv[j])              }//endfor j               mstv[endVertex]= true;              edges[endVertex]= startVertex;              edgeWeights[endVertex]= minWeight;       }//endfor}

3.打印小生成树

template <class vType, int size>voidmsTreeType<vType,size>::printTreeAndWeight(){       inttreeWeight = 0;       minimalSpanning(source);             cout<< "Source vertex: " << source << endl;       cout<< "Edges\t\tWeight" << endl;        for(int j = 0; j < gSize; j++)       {              if(edgeWeights[j]!= 0)              {                     treeWeight= treeWeight + edgeWeights[j];                     cout<< "(" << j << ", " <<edges[j]  << ")\t\t"<< edgeWeights[j] << endl;              }       }       cout<< endl;       cout<< "Tree Weight: " << treeWeight << endl;}