《编程之美》：快速寻找满足条件的两个数

能否快速找出一个数组中的两个数字，让这两个数字之和等于一个给定的值，为了简化起见，我们假设这个数组中肯定存在至少一组符合要求的解。

     假如有如下的两个数组，

    5，6，1，4，7，9，8

    给定Sum= 10

    1，5，6，7，8，9

    给定Sum= 10

    解法一

     一个直接的解法就是穷举：从数组中任意取出两个数字，计算两者之和是否为给定的数字。

     显然其时间复杂度为N（N-1）/2即O（N^2）。这个算法很简单，写起来也很容易，但是效率不高。一般在程序设计里面，要尽可能降低算法的时间和空间复杂度，所以需要继续寻找效率更高的解法。

     解法二

     求两个数字之和，假设给定的和为Sum。一个变通的思路，就是对数组中的每个数字arr[i]都判别Sum-arr[i]是否在数组中，这样，就变通成为一个查找的算法。

     在一个无序数组中查找一个数的复杂度是O（N），对于每个数字arr[i]，都需要查找对应的Sum-arr[i]在不在数组中，很容易得到时间复杂度还是O（N^2）。这和最原始的方法相比没有改进。但是如果能够提高查找的效率，就能够提高整个算法的效率。怎样提高查找的效率呢？

     学过编程的人都知道，提高查找效率通常可以先将要查找的数组排序，然后用二分查找等方法进行查找，就可以将原来O（N）的查找时间缩短到O（log2N），这样对于每个arr[i]，都要花O（log2N）去查找对应的Sum-arr[i]在不在数组中，总的时间复杂度降低为N* log2N。当让将长度为N的数组进行排序本身也需要O（N*log2N）的时间，好在只须要排序一次就够了，所以总的时间复杂度依然是O（N*log2N）。这样，就改进了最原始的方法。

     到这里，有的读者可能会更进一步地想，先排序再二分查找固然可以将时间从O（N^2）缩短到O（N*log2N），但是还有更快的查找方法：hash表。因为给定一个数字，根据hash表映射查找另一个数字是否在数组中，只需要O（1）时间。这样的话，总体的算法复杂度可以降低到O（N），但这种方法需要额外增加O（N）的hash表存储空间。某些情况下，用空间换时间也不失为一个好方法。

     解法三

     还可以换个角度来考虑问题，假设已经有了这个数组的任意两个元素之和的有序数组（长为N^2）。那么利用二分查找法，只需用O（2*log2N）就可以解决这个问题。当然不太可能去计算这个有序数组，因为它需要O（N^2）的时间。但这个思考仍启发我们，可以直接对两个数字的和进行一个有序的遍历，从而降低算法的时间复杂度。

      首先对数组进行排序，时间复杂度为（N*log2N）。

      然后令i = 0，j = n-1，看arr[i] + arr[j] 是否等于Sum，如果是，则结束。如果小于Sum，则i = i + 1；如果大于Sum，则 j = j – 1。这样只需要在排好序的数组上遍历一次，就可以得到最后的结果，时间复杂度为O（N）。两步加起来总的时间复杂度O（N*log2N），下面这个程序就利用了这个思想（排序过程直接调用了库函数qsort），代码如下所示：

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>int cmp(const void *a, const void *b){return *(int *)a - *(int *)b;}int main(){int data[100];int i, j, sum = 88;int tag = 0;//标识是否找到for(i = 0; i < 100 ;i++)data[i] = rand()%200;qsort(data, 100, sizeof(int), cmp);//快速排序for(i = 0, j = 100-1; i < j;)//首位压缩查找，且要满足i<j{if((data[i] + data[j] == sum) && ++tag){printf("(%d,%d)\n",data[i],data[j]);return 0;}else if( data[i] + data[j] < sum)i++;else j--;}if(tag == 0)printf("Not found!\n");return 0;}

应该说第三种解法的效率与复杂度主要是取决于排序的过程。