Tarjan大神DFS的三个算法终于都学会了。 1.Tarjan求最近公共祖先。 2.Tarjan求强连通分量。 3.Tarjan求双连通分支。 这篇文章介绍第三项：Tarjan求双连通分支； 基本概念： 1.割点。在无向图中存在这样一个点，切除该点图的连通分量数+1.也就是说原有的一个连通分量经过操作成为两个连通分量。 2.桥。在无向图中存在这样一条边，删掉该边图的连通分量数+1. 3.块（点双连通分支）。在一个极大连通子图中，该连通分支的点连通度≥2，既至少删除两个点才能破坏无向图的连通性。 4.边双连通分支。在一个极大连通子图中，该连通分支的边连通度≥2。 求解方法： 由dfs构造的一棵搜索树中: 1.割点：点u为割点,满足以下两个条件之一 1>.u为树的root && u的孩子≥2个 2>.u不为树的root && 满足DFN[u]<=LOW[v]; 其中DFN为dfs过程中节点的编号。LOW为该点引出的边中最多直接或间接连接的最早的祖先。 1>.条件很形象.2>.当出现DFN[u]<=LOW[v]时，也就是说v点最多达到u,不可能再向上达到u的祖先节点。显然这个时候将u点删除，v所在的一团和u点祖先的一团分割为两个连通分量。所以u为割点。 2.桥:边(u,v)为桥，满足该条件：DFN[u]<LOW[v]。这里照上面的讲解也很形象。当DFN[u]==LOW[v]时，当u->v dfs递归，存在一条v->u的回边，使得LOW[v]=DFN[u];故不为桥。 割和桥的两种判定就像上面的讲述： [cpp] view plaincopy <span style="font-size:18px;">void Tarjan( int u,int father ) { Node *p=ptr[u]; DFN[u]=LOW[v]=++DEP; while( p ) { if( DFN[p->v]==0 ) { Tarjan( p->v,u ); LOW[u]=min( LOW[u],LOW[v] ); //if DFN[u]<LOW[v] 则(u,v)为桥； } else if( p->v!=father ) LOW[u]=min( LOW[u],DFN[v] ); p=p->next; } /* if( u is root ) u是割点 <=> u至少有两个孩子 else u是割点 <=> DFN[u]<=LOW[v] */ }</span> 下面具体的求桥和割点的方法： 首先用Tarjan标记DFN和LOW数组 void getV_B() { Tarjan(1,0); int rootSon=0,cutPoint=0; for( i=2;i<=N;i++ ) { if( father[i]==1 ) rootSon++; else if( DFN[father[i]<=LOW[i]] ) cutPoint++;//i为割点 } if( rootSon>=2 ) cntPoint++;//root点1为割点 for( i=1;i<=N;i++ ) if( DFN[father[i]]<LOW[i] ) //( father[i],i )为桥； } 3.边双连通分支： 也就是将桥删除后整个图分成的连通块就是边双连通分支。 4.点双连通分支： 对于点双连通分支，实际上在求割点的过程中就能顺便把每个点双连通分支求出。建立一个栈，存储当前双连通分支，在搜索图时，每找到一条树枝边或反向边，就把这条边加入栈中。如果遇到某时满足dfn(u)<=low(v)，说明u是一个割点，同时把边从栈顶一个个取出，直到遇到了边(u,v)，取出的这些边与其关联的点，组成一个点双连通分支。割点可以属于多个点双连通分支，其余点和每条边只属于且属于一个点双连通分支。 void Tarjan(int u, int father){ int i,j,k; low[u] = dfn[u] = nTime ++; for( i = 0;i < G[u].size() ;i ++ ) { int v = G[u][i]; if( ! dfn[v]) { //v没有访问过//树边要入栈 Edges.push_back(Edge2(u,v)); Tarjan(v,u); low[u] = min(low[u],low[v]); Edge2 tmp(0,0); if(dfn[u] <= low[v]) { //从一条边往下走，走完后发现自己是割点，则栈中的边一定全是和自己在一个双连通分量里面//根节点总是和其下的某些点在同一个双连通分量里面 cout << "Block No: " << ++ nBlockNo << endl; do { tmp = Edges.back(); Edges.pop_back (); cout << tmp.u << "," <<tmp.v << endl; }while ( !(tmp.u == u && tmp.v == v) ); } } // 对应if( ! dfn[v]) { else if( v != father ) { //u连到父节点的回边不考虑 low[u] = min(low[u],dfn[v]); if( dfn[u] > dfn[v])//子孙连接到祖先的回边要入栈，但是子孙连接到自己的边，此处肯定已经入过栈了，不能再入栈 Edges.push_back(Edge2(u,v)); } } //对应 for( i = 0;i < G[u].size() ;i ++ ) { }
