矩阵相乘的快速算法(施特拉森-Strassen算法)

原文作者：赵超 龚敏敏

原文地址：http://dev.gameres.com/Program/Visual/3D/Mxquick.htm

算法介绍

矩阵相乘在进行3D变换的时候是经常用到的。在应用中常用矩阵相乘的定义算法对其进行计算。这个算法用到了大量的循环和相乘运算，这使得算法效率不高。而矩阵相乘的计算效率很大程度上的影响了整个程序的运行速度，所以对矩阵相乘算法进行一些改进是必要的。

这里要介绍的矩阵算法称为斯特拉森方法，它是由v.斯特拉森在1969年提出的一个方法。

我们先讨论二阶矩阵的计算方法。

对于二阶矩阵

 a11a12    b11b12 A =a21a22B =b21b22

先计算下面7个量(1)

x1 = (a11 + a22) * (b11 + b22);x2 = (a21 + a22) * b11;x3 = a11 * (b12 - b22);x4 = a22 * (b21 - b11);x5 = (a11 + a12) * b22;x6 = (a21 - a11) * (b11 + b12);x7 = (a12 - a22) * (b21 + b22);

再设C = AB。根据矩阵相乘的规则，C的各元素为(2)

c11 = a11 * b11 + a12 * b21c12 = a11 * b12 + a12 * b22c21 = a21 * b11 + a22 * b21c22 = a21 * b12 + a22 * b22

比较(1)(2)，C的各元素可以表示为(3)

c11 = x1 + x4 - x5 + x7c12 = x3 + x5c21 = x2 + x4c22 = x1 + x3 - x2 + x6

根据以上的方法，我们就可以计算4阶矩阵了，先将4阶矩阵A和B划分成四块2阶矩阵，分别利用公式计算它们的乘积，再使用(1)(3)来计算出最后结果。

  ma11ma12    mb11mb12 A4 =ma21ma22B4 =mb21mb22

其中

  a11a12    a13a14    b11b12    b13b14 ma11 =a21a22ma12 =a23a24mb11 =b21b22mb12 =b23b24   a31a32    a33a34    b31b32    b33b34 ma21 =a41a42ma22 =a43a44mb21 =b41b42mb22 =b43b44

实现

// 计算2X2矩阵void Multiply2X2(float& fOut_11, float& fOut_12, float& fOut_21, float& fOut_22,float f1_11, float f1_12, float f1_21, float f1_22,float f2_11, float f2_12, float f2_21, float f2_22){const float x1((f1_11 + f1_22) * (f2_11 + f2_22));const float x2((f1_21 + f1_22) * f2_11);const float x3(f1_11 * (f2_12 - f2_22));const float x4(f1_22 * (f2_21 - f2_11));const float x5((f1_11 + f1_12) * f2_22);const float x6((f1_21 - f1_11) * (f2_11 + f2_12));const float x7((f1_12 - f1_22) * (f2_21 + f2_22));fOut_11 = x1 + x4 - x5 + x7;fOut_12 = x3 + x5;fOut_21 = x2 + x4;fOut_22 = x1 - x2 + x3 + x6;}// 计算4X4矩阵void Multiply(CLAYMATRIX& mOut, const CLAYMATRIX& m1, const CLAYMATRIX& m2){float fTmp[7][4];// (ma11 + ma22) * (mb11 + mb22)Multiply2X2(fTmp[0][0], fTmp[0][1], fTmp[0][2], fTmp[0][3],m1._11 + m1._33, m1._12 + m1._34, m1._21 + m1._43, m1._22 + m1._44,m2._11 + m2._33, m2._12 + m2._34, m2._21 + m2._43, m2._22 + m2._44);// (ma21 + ma22) * mb11Multiply2X2(fTmp[1][0], fTmp[1][1], fTmp[1][2], fTmp[1][3],m1._31 + m1._33, m1._32 + m1._34, m1._41 + m1._43, m1._42 + m1._44,m2._11, m2._12, m2._21, m2._22);// ma11 * (mb12 - mb22)Multiply2X2(fTmp[2][0], fTmp[2][1], fTmp[2][2], fTmp[2][3],m1._11, m1._12, m1._21, m1._22,m2._13 - m2._33, m2._14 - m2._34, m2._23 - m2._43, m2._24 - m2._44);// ma22 * (mb21 - mb11)Multiply2X2(fTmp[3][0], fTmp[3][1], fTmp[3][2], fTmp[3][3],m1._33, m1._34, m1._43, m1._44,m2._31 - m2._11, m2._32 - m2._12, m2._41 - m2._21, m2._42 - m2._22);// (ma11 + ma12) * mb22Multiply2X2(fTmp[4][0], fTmp[4][1], fTmp[4][2], fTmp[4][3],m1._11 + m1._13, m1._12 + m1._14, m1._21 + m1._23, m1._22 + m1._24,m2._33, m2._34, m2._43, m2._44);// (ma21 - ma11) * (mb11 + mb12)Multiply2X2(fTmp[5][0], fTmp[5][1], fTmp[5][2], fTmp[5][3],m1._31 - m1._11, m1._32 - m1._12, m1._41 - m1._21, m1._42 - m1._22,m2._11 + m2._13, m2._12 + m2._14, m2._21 + m2._23, m2._22 + m2._24);// (ma12 - ma22) * (mb21 + mb22)Multiply2X2(fTmp[6][0], fTmp[6][1], fTmp[6][2], fTmp[6][3],m1._13 - m1._33, m1._14 - m1._34, m1._23 - m1._43, m1._24 - m1._44,m2._31 + m2._33, m2._32 + m2._34, m2._41 + m2._43, m2._42 + m2._44);// 第一块mOut._11 = fTmp[0][0] + fTmp[3][0] - fTmp[4][0] + fTmp[6][0];mOut._12 = fTmp[0][1] + fTmp[3][1] - fTmp[4][1] + fTmp[6][1];mOut._21 = fTmp[0][2] + fTmp[3][2] - fTmp[4][2] + fTmp[6][2];mOut._22 = fTmp[0][3] + fTmp[3][3] - fTmp[4][3] + fTmp[6][3];// 第二块mOut._13 = fTmp[2][0] + fTmp[4][0];mOut._14 = fTmp[2][1] + fTmp[4][1];mOut._23 = fTmp[2][2] + fTmp[4][2];mOut._24 = fTmp[2][3] + fTmp[4][3];// 第三块mOut._31 = fTmp[1][0] + fTmp[3][0];mOut._32 = fTmp[1][1] + fTmp[3][1];mOut._41 = fTmp[1][2] + fTmp[3][2];mOut._42 = fTmp[1][3] + fTmp[3][3];// 第四块mOut._33 = fTmp[0][0] - fTmp[1][0] + fTmp[2][0] + fTmp[5][0];mOut._34 = fTmp[0][1] - fTmp[1][1] + fTmp[2][1] + fTmp[5][1];mOut._43 = fTmp[0][2] - fTmp[1][2] + fTmp[2][2] + fTmp[5][2];mOut._44 = fTmp[0][3] - fTmp[1][3] + fTmp[2][3] + fTmp[5][3];}

比较

在标准的定义算法中我们需要进行n * n * n次乘法运算，新算法中我们需要进行7^log₂n次乘法，对于最常用的4阶矩阵： 原算法新算法加法次数4872(48次加法，24次减法)乘法次数6449需要额外空间16 * sizeof(float)28 * sizeof(float)

新算法要比原算法多了24次减法运算，少了15次乘法。但因为浮点乘法的运算速度要远远慢于加/减法运算，所以新算法的整体速度有所提高。