Ｊｏｈｎｓｏｎ算法最短路Ｏ（（Ｖ＾２）ｌｇＶ＋ＶＥ） 任意两点间的最短路

Ｊｏｈｎｓｏｎ算法最短路Ｏ（（Ｖ＾２）ｌｇＶ＋ＶＥ）　任意两点间的最短路  

在介绍johnson之前，咱们复习一下常见的最短路的算法吧

（1）单对单，单对多
    1 、dijkstra算法，O（V）的入堆 ， O（V）的预处理，O(VlgV)从堆中出最小值 ， O （ElgV）E 次松弛,修改堆，每次lgV
     用斐波那契堆的话 O（V）的入堆 ， O（V）的预处理，O(VlgV)从堆中出最小值 ， O （E）E 次松弛,修改堆，平摊O（1 ）
     局限，不能处理负权值O（Ｅ＋　ＶｌｇＶ）
    2 、Belloman_Ford ， O(VE) , V-1次每次对E条边进行松弛 ，如果没有dist 的更新退出
           它的变种优秀的算法spfa ， 平均时间是O （kE），k是小常数 ，不过也会有最坏的情况，当一个元素入队V次就表示有负权环
         可以处理负权和负权环的最短路
   3 .没有环的最短路径问题 拓扑排序O （ V +E ） 局限性，只能是没有环的
（2)多对多
    前面都可以，执行V次即可
    还有动态规划的ｆｌｏｙｄ算法Ｏ（ｎ^3)算法
   斐波那契堆+dijkstra O （ VE+ V^2lgV ) 对于稀疏图，比floyd 优，不过不能出现负权值
  然后就是 O （ VE+ V^2lgV ) 可以出现负权值，和负权环



哈哈哈，咱还是接着写吧，ｊｏｈｎｓｏｎ算法其实是dijkstra的变种，它的思想就是将每条w （ｕ，ｖ）映射到　ｗｗ( u , v )
使得ww （ u ， v ）恒为非负 ， 然后通过 dijkstra斐波那契堆，实现，然后再映射回去
 
我们 定义 ww （ u， v ）＝　ｗ　（ｕ，　ｖ) + h( u ) -  h ( v ) 为什么这么做，后面会说的

然后我们先证明
      ww （ u， v ）  的最短路，对应这 w （u ， v ) 的最短路
    假设 u-> x1->x2 ->x3 ->----xn->v 为 ww （ u ， v） 的最短路
dist [ u ,  v ] = ww ( u , x1 ) + ww ( x1 , x2 ) + ww ( x2 , x3 ) + ww ( x3 , x4 ) + --- + ww(  xn, v )
                   = w ( u , x1 ) + h ( u ) - h ( x1 ) + w ( x1 , x2 ) + h ( x1 ) - h ( x2 )  +  w ( x2 , x3 ) + h ( x2 ) - h ( x3 ) +
                     --- + w ( xn , v ) + h ( xn ) - h ( v )
                  = w ( u ,x1 ) + w (x1 , x2 ) + w ( x2 , x3 ) + --- + w ( xn , v ) + h ( u ) - h ( v )  = d [ u , v ] + h [ u ] - h [ v ] ;
其中 w ( u ,x1 ) + w (x1 , x2 ) + w ( x2 , x3 ) + --- + w ( xn , v )为 w （u ， v ) 中 d [ u , v ] 的最短路
所以两者一一对应，
      然后
      若   w （ u， v ）  中存在负权环， 对应这  ww（u ， v ) 也存在负全环
      方面和下面一样  只是 u= v了。
那么怎么构造 h （ｕ）
我们增加一个节点ｓ，将它向Ｖ　中的每个节点　连一条边　，边的权值为　ｗ　( s , V ) = 0
那么我们以s 为源点做一次 belloman_ford O ( VE ) 将ddd   [ s , v ] = h ( v ) ，出现负权环，就输出图中有负权环，所以结束程序

其他情况继续， 由于 对于任意有向边 （ u， v）都有　ddd [ u ] + w ( u , v ) >=  ddd [ v ] ,否则可以进行松弛。（因为不会有负权环发生） ，所以移项 w ( u , v ) + ddd [ u ] - ddd [ v ] >=0 如果同h [ u ] = ddd [ u] ,那么就变为 w ( u , v ) + h ( u ) - h ( v ) 了，所以能够得到
ww( u , v ) 接下来就是V次斐波那契堆+dijkstra
最后d [ u , v ] = dist [ u , v ] + h [ v ]- h [ u ] 即可得到真实的最短路值