数理逻辑：命题逻辑（11）多值逻辑

数理逻辑

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第一章 命题逻辑，

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第11节 多值逻辑

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           在多值逻辑中，原有二值逻辑的一系列关系都能满足，如双重否定律，德摩根定律，合取对析取分配，析取对合取分配，蕴含与等价用与或非表示的公式，都将成立，这可以用上面的运算表加以验证，具体验证留作习题。

        如果我们用数学函数来表示，则有

 非x=1-x,  x&y=min(x,y),  xVy=max(x,y),  x->y=yV(非x)=max(y,1-x)，

 x~y=(x->y)&(y->x)=min(max(y,1-x),max(x,1-y)).

        需要说明，对多指逻辑中逻辑值的表示符号不同作者使用很不统一，如Kleene等用T、I、F三个字母分别表示真、半真、假三个三值逻辑中的逻辑值。下面就是Kleene的三值逻辑的五种基本运算表。这种表示对三值逻辑确实很好，但无法推广到4、5、6、...、n等更多值的逻辑；有的作者用1、2、3三个整数分别表示真、半真、假三个三值逻辑中的逻辑值，这种方法可以方便地推广4、5、6、...、n等更多值的逻辑，但缺乏符号的直观意义。而我们上面用0、1/2、1来表示这三个真值，这种表示法的好处是它们正好代表真值为真的概率值，并且不仅可以推广到任意值的逻辑，甚至还可以推广到无穷值的逻辑，当然，这时运算表是画不出来了，但基本关系还是不变。

附录：Kleene K3 三值逻辑 表

练习题

1. 验证德摩根定律在三值逻辑中成立。

2. 用与、或、非表示三值逻辑中的蕴含关系。

3. 用与、或、非表示三值逻辑中的等价关系。

[待校]