二进制补码

数在计算机中是以二进制形式表示的。
数分为有符号数和无符号数。
原码、反码、补码都是有符号定点数的表示方法。
一个有符号定点数的最高位为符号位，0是正，1是副。

以下都以8位整数为例，

原码就是这个数本身的二进制形式。
例如
0000001 就是+1
1000001 就是-1

正数的反码和补码都是和原码相同。

负数的反码是将其原码除符号位之外的各位求反
[-3]反=[10000011]反=11111100
负数的补码是将其原码除符号位之外的各位求反之后在末位再加1。
[-3]补=[10000011]补=11111101
一个数和它的补码是可逆的。

为什么要设立补码呢？

第一是为了能让计算机执行减法：
[a-b]补=a补+（-b）补

第二个原因是为了统一正0和负0
正零：00000000
负零：10000000
这两个数其实都是0，但他们的原码却有不同的表示。
但是他们的补码是一样的，都是00000000
特别注意，如果+1之后有进位的，要一直往前进位，包括符号位！（这和反码是不同的！）
[10000000]补
=[10000000]反+1
=11111111+1
=(1)00000000
=00000000(最高位溢出了，符号位变成了0）

有人会问
10000000这个补码表示的哪个数的补码呢？
其实这是一个规定，这个数表示的是-128
所以n位补码能表示的范围是
-2^(n-1)到2^(n-1)-1
比n位原码能表示的数多一个

又例：
1011
原码：01011
反码：01011 //正数时，反码＝原码
补码：01011 //正数时，补码＝原码

-1011
原码：11011
反码：10100 //负数时，反码为原码取反
补码：10101 //负数时，补码为原码取反＋1

0．1101
原码：0.1101
反码：0.1101 //正数时，反码＝原码
补码：0.1101 //正数时，补码＝原码

-0．1101
原码：1.1101
反码：1.0010 //负数时，反码为原码取反
补码：1.0011 //负数时，补码为原码取反＋1

总结：
在计算机内，定点数有3种表示法：原码、反码和补码

所谓原码就是前面所介绍的二进制定点表示法，即最高位为符号位，“0”表示正，“1”表示负，其余位表示数值的大小。

反码表示法规定：正数的反码与其原码相同；负数的反码是对其原码逐位取反，但符号位除外。

补码表示法规定：正数的补码与其原码相同；负数的补码是在其反码的末位加1。

1、原码、反码和补码的表示方法

（1）       原码：在数值前直接加一符号位的表示法。

例如：         符号位     数值位

[+7]原=      0       0000111     B

[-7]原=      1       0000111     B

        注意：a. 数0的原码有两种形式：

                      [+0]原=00000000B       [-0]原=10000000B

                  b. 8位二进制原码的表示范围：-127～+127

2）反码：

        正数：正数的反码与原码相同。

        负数：负数的反码，符号位为“1”，数值部分按位取反。

例如： 符号位      数值位

        [+7]反=     0      0000111     B

        [-7]反=     1      1111000     B

注意：a. 数0的反码也有两种形式，即

                 [+0]反=00000000B

                 [- 0]反=11111111B

             b. 8位二进制反码的表示范围：-127～+127

3）补码的表示方法

1）模的概念：把一个计量单位称之为模或模数。例如，时钟是以12进制进行计数循环的，即以12为模。在时钟上，时针加上（正拨）12的整数位或减去（反拨）12的整数位，时针的位置不变。14点钟在舍去模12后，成为（下午）2点钟（14=14-12=2）。从0点出发逆时针拨10格即减去10小时，也可看成从0点出发顺时针拨2格（加上2小时），即2点（0-10=-10=-10+12=2）。因此，在模12的前提下，-10可映射为+2。由此可见，对于一个模数为12的循环系统来说，加2和减10的效果是一样的；因此，在以12为模的系统中，凡是减10的运算都可以用加2来代替，这就把减法问题转化成加法问题了（注：计算机的硬件结构中只有加法器，所以大部分的运算都必须最终转换为加法）。10和2对模12而言互为补数。

同理，计算机的运算部件与寄存器都有一定字长的限制（假设字长为8），因此它的运算也是一种模运算。当计数器计满8位也就是256个数后会产生溢出，又从头开始计数。产生溢出的量就是计数器的模，显然，8位二进制数，它的模数为28=256。在计算中，两个互补的数称为“补码”。

2）补码的表示： 正数：正数的补码和原码相同。

       负数：负数的补码则是符号位为“1”，数值部分按位取反后再在末位（最低位）加1。也就是“反码+1”。

例如：     符号位 数值位

[+7]补=      0      0000111     B

         [-7]补=      1      1111001     B

补码在微型机中是一种重要的编码形式，请注意：

a.采用补码后，可以方便地将减法运算转化成加法运算，运算过程得到简化。正数的补码即是它所表示的数的真值，而负数的补码的数值部份却不是它所表示的数的真值。采用补码进行运算，所得结果仍为补码。

b.与原码、反码不同，数值0的补码只有一个，即          [0]补=00000000B。

c.若字长为8位，则补码所表示的范围为-128～+

数值在计算机中表示形式为机器数,计算机只能识别0和1,使用的是二进制,而在日常生活中人们使用的是十进制,"正如亚里士多德早就指出的那样,今天十进制的广泛采用,只不过我们绝大多数人生来具有10个手指头这个解剖学事实的结果.尽管在历史上手指计数(5,10进制)的实践要比二或三进制计数出现的晚."(摘自<<数学发展史>>有空大家可以看看哦~,很有意思的).为了能方便的与二进制转换,就使用了十六进制(2 4)和八进制(23).下面进入正题.

数值有正负之分,计算机就用一个数的最高位存放符号(0为正,1为负).这就是机器数的原码了.假设机器能处理的位数为8.即字长为1byte,原码能表示数值的范围为

(-127~-0 +0~127)共256个.

   有了数值的表示方法就可以对数进行算术运算.但是很快就发现用带符号位的原码进行乘除运算时结果正确,而在加减运算的时候就出现了问题,如下: 假设字长为8bits

( 1 ) 10-   ( 1 )10 =   ( 1 )10 + ( -1 )10 =   ( 0 )10

(00000001)原 + (10000001)原 = (10000010)原 = ( -2 ) 显然不正确.

   因为在两个整数的加法运算中是没有问题的,于是就发现问题出现在带符号位的负数身上,对除符号位外的其余各位逐位取反就产生了反码.反码的取值空间和原码相同且一一对应. 下面是反码的减法运算:

( 1 )10 -   ( 1 ) 10=   ( 1 ) 10+ ( -1 ) 10=   ( 0 )10

(00000001) 反+ (11111110)反 =   (11111111)反 =   ( -0 )   有问题.

( 1 )10 -   ( 2)10 =   ( 1 )10 + ( -2 )10 =   ( -1 )10

(00000001) 反+ (11111101)反 =   (11111110)反 =   ( -1 ) 正确

问题出现在(+0)和(-0)上,在人们的计算概念中零是没有正负之分的.(印度人首先将零作为标记并放入运算之中,包含有零号的印度数学和十进制计数对人类文明的贡献极大).

于是就引入了补码概念. 负数的补码就是对反码加一,而正数不变,正数的原码反码补码是一样的.在补码中用(-128)代替了(-0),所以补码的表示范围为:

(-128~0~127)共256个.

注意:(-128)没有相对应的原码和反码, (-128) = (10000000)   补码的加减运算如下:

( 1 ) 10-   ( 1 ) 10=   ( 1 )10 + ( -1 )10 =   ( 0 )10

(00000001)补 + (11111111)补 =   (00000000)补 = ( 0 ) 正确

( 1 ) 10-   ( 2) 10=   ( 1 )10 + ( -2 )10 =   ( -1 )10

(00000001) 补+ (11111110) 补=   (11111111)补 = ( -1 )   正确

 所以补码的设计目的是:

⑴使符号位能与有效值部分一起参加运算,从而简化运算规则.

⑵使减法运算转换为加法运算,进一步简化计算机中运算器的线路设计

   所有这些转换都是在计算机的最底层进行的，而在我们使用的汇编、C等其他高级语言中使用的都是原码。看了上面这些大家应该对原码、反码、补码有了新的认识了吧！

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计算机系统内部采用二进制表示数值数据，也采用二进制编码表示非数值数据和指令。计算机中存储信息的最小单位称为位。位分别代表0和1两种状态。数值数据分为有符号数和无符号数。无符号数最高位表示数值，而有符号数最高位表示符号。有符号数有不同的编码方式，常用的是补码。
(1)原码:
   最高位表示符号(正数用0,负数用1),其他位表示数值位,称为有符号数的原码表示法.
   例:X=45=00101101B   [X]原=00101101B
      X=-45,[X]原=10101101B
原码表示简单易懂,但若是两个异号数相加(或两个同号数相减),就要做减法.为了把减法运算转换为加法运算就引进了反码和补码.
(2)反码:
    正数的反码与原码相同,符号位用0表示,数值位值不变.负数的反码符号位用1表示,数值位为原码数值位按位取反形成,即0变1,1变0.
   例:X=45=00101101B   [X]反=00101101B
      X=-45,[X]反=11010010B
(3)补码:
   正数的补码与原码相同,即符号用0表示,数值位值不变.负数的补码为反码加1形成.
   例:X=45=00101101B   [X]补=00101101B
      X=-45,[X]反=11010011B
补充点感觉这样就完全了，文章写的不错对于程序设计就应该了解这些！