POJ 3252 Round Numbers

题意：求区间[start, finish]里Round Number的个数(二进制中0的个数大于等于1的个数的数称为Round Number).

思路：记f(start, finish)为[start, finish]里Round Number的个数,那么要求f(start,finish),只需用f(0,finish)-f(0,start-1)即可,则问题转化为给定x,求出f(0,x).
假定x=(10101101),其长度为8位.而[0,x]中的数可分为二进制长度小于8位的和二进制长度等于8位的.

首先看二进制长度小于8位的,即求出长度在[0,7]区间内的Round Number个数.对于长度为len的二进制（最高位一定是1）,记其Round Number个数为R(len),可按照len的奇偶性分两种情况.
1. len=2k+1时,去掉最高位的1,剩下2k位里至少要有k+1个0,用C(n,m)表示n个位置选m个位置的方法.
有R(len)=C(2k,k+1)+C(2k,k+2)+…+C(2k,2k)=1/2*(2^(2k)-C(2k,k))
2. 同理可得,len=2k时,R(len)=1/2*(2^(2k-1))

接下来看二进制长度为8位的.
首先判断x本身,然后对于x的二进制,若将其中除了最高位的1以外的任意一个或多个1变为0,得到的数一定小于x,那么就能通过这种方法得到二进制位数和x相等且比x小的Round Number个数了.
最后将两部分结果求和即可.

精度方面,2000000000<2*1024*1024*1024=2^31,故用31位表示数组,又第一位总为1,所以组合数只用求到30,C(30,k) (0<=k<=30) <= 2^30,故用int即可.

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51

/*

* algorithm : math

*

* Memory 392K Time 0MS Language G++

*

* code by : zhyu

*/

#include <cstdio>

constintN = 31;

int c[N][N],pow2[N];

boolbin[N];

inlinevoidinit(void)

{

for(inti=0;i<N;i++) c[i][0]=c[i][i]=1,pow2[i]=(1<<i);

for(inti=2;i<N;i++)

for(intj=1;j<i;j++)

c[i][j]=c[i-1][j-1]+c[i-1][j];

}

int gao(int x)

{

if(x<=1)return0;

inti,j,k,n1,n0,len,res=0;

for(i=0;i<N;i++) bin[i]=((pow2[i]&x)!=0);

for(i=N-1;i>=0 && bin[i]==0;i--);

for(len=i;len>=1;len--)

if(len&1) res+=((pow2[len-1]-c[len-1][(len-1)/2])>>1);

elseres+=(pow2[len-1]>>1);

for(j=i,n0=n1=0;j>=0;j--)

if(bin[j]) n1++;

elsen0++;

if(n1<=n0) res++;

for(j=i-1,n0=0,n1=1;j>=0;j--)

if(bin[j])

{

for(k=j;k>=0 && k+n0+1>=j-k+n1;k--) res+=c[j][k];

n1++;

}

elsen0++;

returnres;

}

int main(void)

{

init();

intst,ed;

scanf("%d%d",&st,&ed);

printf("%d\n",gao(ed)-gao(st-1));

return0;

}