概率计算之“疯子乘飞机问题”

题目：

飞机上有100个座位，按顺序从1到100编号。有100个乘客，他们分别拿到了从1号到100号的座位，他们按号码顺序登机并应当对号入座，如果他们发现对应号座位被别人坐了，他会在剩下空的座位随便挑一个坐。现在假如1号乘客疯了 -_-! (其他人没疯)，他会在100个座位中随机坐一个座位。那么第100人正确坐自己座位的概率是多少？

注意登机是从1到100按顺序的。

解题方法来自 爵士甜菜 的博客。

其实用概率推导还是可以比较容易找到规律，简证如下：

2号坐对的概率是99/100
至于3号做错的概率是 = 1/100 {一号坐在三号上}+ 1/100{二号坐错了} X 1/99 {二号坐在三号上} = 1/99 
所以3号坐对的概率是1 - 1/99 = 98/99

依次可以证明4号 = 1-（1/100 {一号坐在四号上}+ 1/100{二号坐错了} X 1/99 {二号坐在四号上} + 1/99{三号 坐错了} X 1/98 {三号坐在三四上}）= 97/98
。。。

99号 = 2/3 

100号 = 1/2

以下是验证代码。可以修改参数测试某个座位的概率值，程序显示了理论值（第一行）和实验值（第二行）。

static void Main(string[] args){    int total_seats = 100; //总共多少座位    int which_seat = 100;  //哪个座位？从1算起        int test_count = 10000;    int true_value = 0;    for (int i = 0; i < test_count; i++)    {        if (isRightSeat(total_seats, which_seat))            true_value++;    }    Console.WriteLine((double)(100 - which_seat + 1) / (double)(100 - which_seat + 2));    Console.WriteLine(true_value / (double)test_count);    Console.ReadKey();}static Random rnd = new Random();static bool isRightSeat(int total, int pos){    int[] seats = new int[total];    List<int> positions = Enumerable.Range(0, total).ToList();    int n = pos;        for (int i = 0; i < n; i++)    {        if (i == 0 || seats[i] != 0)        {            int p = rnd.Next(positions.Count);            int next_seat = positions[p];            positions.RemoveAt(p);            seats[next_seat] = i + 1;        }        else        {            seats[i] = i + 1;            positions.Remove(i);        }    }    return seats[pos - 1] == pos;}