用分数形式精确表达有理数和循环无理数

学过计算机编程的就知道，在计算机中，浮点数是不可能用浮点数精确的表达的，如果你需要精确的表达这个小数，我们最好是用分数的形式来表示，而且有限小数或无限小数都是可以转化为分数的形式。比如下面的几个小数：

0.3333(3)  = 1/3的(其中括号中的数字是表示循环节)

0.3 = 3 / 10

0.25 = 1 / 4

0. 285714(285714) = 2 / 7

为了简化编程，在这里，我们假定输入的数据都是以0.开始的，没有负数。

（1）、对于有限小数的情况很好分析，我们只要得到小数的位数n，然后用这个小数除以10^n就能得到

比如小数形式为0.a1a2a3a4...an = a1a2a3a4....an  / 10^n然后化简为最简分式就能得到。

（2）、对于无限小数，情况要复杂许多，假定无限小数为  0.a1a2....an(b1b2....bm)，我们做如下转换有

X = 0.a1a2....an(b1b2....bm)

X * 10^n=a1a2....an + 0. b1b2....bm

设Y = 0. b1b2....bm有

10^m * Y = b1b2....bm + 0.b1b2....bm

=b1b2....bm + Y

所以Y = b1b2....bm / (10^m - 1)带入上面得到

X = (a1a2....an + Y) / 10^n  = ((a1a2....an) * (10^m - 1) + (b1b2....bm)) / ((10^m - 1) * 10^n)

由此我们可以得到无限小数的精确表达式，下面就是代码实现：

[cpp] view plaincopyprint?

1. #include <iostream>  
2. #include <string>  
3.   
4. using namespace std;  
5.   
6. unsigned long long GCD(unsigned long long a, unsigned long long b);  
7. /** 
8. *    author: w397090770 
9. *    Date: 2012.08.31 
10. *    Email:[e-mail] 
11. *    仅用于学习交流，转载请注明这些标识。 
12. **/  
13. void floatPrecisionExpress(string numberStr){  
14.     //寻找 (    
15.     string::size_type start = 0;  
16.     //寻找 )   
17.     string::size_type end = 0;  
18.     //标记是否找到 ( 符号   
19.     bool isFind = false;  
20.     //记录字符串的长度   
21.     int len = 0;  
22.     int m = 0, n = 0;  
23.     //分子，分母   
24.     unsigned long long molecular = 0, denominator = 1;  
25.     int i = 0;  
26.       
27.     //  
28.     unsigned long long gcd = 1;  
29.     start = numberStr.find('(', 0);  
30.     end =  numberStr.find(')', 0);  
31.       
32.     //只有找到 ( 和 ) 才是对的，要么都不找到，找到一个地情况下是错误的，直接返回  
33.     //当然我这里假设了用户输入的是0.XXXX格式的字符串，也就是一定是以0.开头的，  
34.     //不考虑以别的开始的   
35.     if(start == string::npos && end == string::npos){  
36.         isFind = false;   
37.     }else if(start != string::npos && end != string::npos){  
38.         isFind = true;   
39.     }else{  
40.         cerr << "Input Error!" << endl;  
41.         return;  
42.     }  
43.       
44.     //有限小数   
45.     if(!isFind) {  
46.         len =  numberStr.length();  
47.         n = len - 2;    //2是除去 0.  
48.           
49.         //计算分子   
50.         for(i = 2; i < len; i++){  
51.             molecular = molecular * 10 +  numberStr[i] - '0';  
52.         }  
53.         //cout << molecular << endl;  
54.           
55.         //计算分母   
56.         for(i = 0; i < n; i++){  
57.             denominator *= 10;  
58.         }  
59.         //cout << molecular << "\n" << denominator << endl;  
60.         //将分子、分母化简为最简式,得到两数的最大公约数   
61.         gcd= GCD(molecular, denominator);  
62.         cout << "浮点数" <<  numberStr << "的分数精确表示为: " << molecular / gcd << "/" << denominator / gcd << endl;      
63.     }else{  
64.         n = start - 2;  //2是除去 0.  
65.         m = end - start - 1;  
66.         //cout << n << "\t" << m << endl;  
67.         unsigned long long temp1 = 0, temp2 = 0, temp3 = 1, temp4 = 1;  
68.         for(i = 2; i < start; i++){  
69.             temp1 = temp1 * 10 + numberStr[i] - '0';  
70.         }  
71.           
72.         for(i = start + 1; i < end; i++){  
73.             temp2 = temp2 * 10 + numberStr[i] - '0';  
74.         }  
75.           
76.         //cout << temp1 << "\t" << temp2 << endl;  
77.         for(i = 0; i < n; i++){  
78.             temp3 *= 10;  
79.         }  
80.           
81.         for(i = 0; i < m; i++){  
82.             temp4 *= 10;  
83.         }  
84.           
85.         //cout << temp1 << "\t" << temp2 << "\t" << temp3 << "\t" << temp4 << endl;  
86.         molecular = temp1 * (temp4 - 1) + temp2;  
87.         denominator = (temp4 - 1) * temp3;  
88.         gcd= GCD(molecular, denominator);  
89.         //cout << gcd << endl;  
90.         cout << "浮点数" <<  numberStr << "的分数精确表示为: " << molecular / gcd << "/" << denominator / gcd << endl;  
91.           
92.     }   
93. }  
94.   
95. unsigned long long GCD(unsigned long long a, unsigned long long b){  
96.     if(a < b){  
97.         return GCD(b, a);  
98.     }  
99.       
100.     if(b == 0){  
101.         return a;  
102.     }else{  
103.         if(a & 0x1){    //奇数   
104.             if(b & 0x1){  
105.                 return GCD(b, a - b);   
106.             }else{  
107.                 return GCD(a, b >> 1);  
108.             }  
109.         } else{  
110.             if(b & 0x1){  
111.                 return GCD(a >> 1, b);  
112.             }else{  
113.                 return GCD(a >> 1, b >> 1) << 1;  
114.             }  
115.         }  
116.     }  
117. }  
118.   
119. int main(){  
120.     floatPrecisionExpress("0.285714(285714)");  
121.     floatPrecisionExpress("0.33(3)");  
122.     floatPrecisionExpress("0.25");  
123.     floatPrecisionExpress("0.30");  
124.     floatPrecisionExpress("0.3(000)");  
125.     floatPrecisionExpress("0.3333(3333)");  
126.     return 0;  
127. }  

程序运行结果：