关于采用matlab进行指定非线性方程拟合的问题

※1。优化工具箱的利用

 a.线性拟合
   函数名                            描述
 LSQLIN            有约束线性最小二乘优化
 LSQNONNEG  非负约束线性最小二乘优化问题
       当有约束问题存在的时候，应该采用上面的方法代替Polyfit与反斜线（\）。具体例子请参阅优化工具箱文档中的相应利用这两个函数的例子。

 d.  非线性曲线拟合
   函数名                           描述
 FMINBND        只解决单变量固定区域的最小值问题
 FMINSEARCH 多变量无约束非线性最小化问题（Nelder-Mead 方法）。
      下面给出一个小例子展示一下如何利用FMINSEARCH
 

1.首先生成数据
       >> t=0:.1:10;
       >> t=t(:);
       >> Data=40*exp(-.5*t)+rand(size(t));  % 将数据加上随机噪声
 2.写一个m文件，以曲线参数作为输入，以拟合误差作为输出
 function sse=myfit(params,Input,Actural_Output)
     A=params(1);
     lamda=params(2);
     Fitted_Curve=A.*exp(-lamda*Input);
     Error_Vector=Fitted_Curve-Actural_Output;
     %当曲线拟合的时候，一个典型的质量评价标准就是误差平方和
     sse=sum(Error_Vector.^2);
     %当然，也可以将sse写作：sse=Error_Vector(:)*Error_Vector(:);
 3.调用FMINSEARCH
     >> Strarting=rand(1,2);
     >> options=optimset('Display','iter');
     >> Estimates=fiminsearch(@myfit,Strarting,options,t,Data);
     >> plot(t,Data,'*');
     >> hold on
     >> plot(t,Estimates(1)*exp(-Estimates(2)*t),'r');
     Estimates将是一个包含了对原数据集进行估计的参数值的向量。
附图见后面：
 

       FMINSEARCH通常能够用来解决不连续情况，特别是如果他们不出现在解的附近的时候。它得到的通常也是局部解。FMINSEARCH只能够最小化实数值（也就是说，解的域必须只能包括实数，函数的输出只能够为实数值）。当感兴趣的是复数变量的域的时候，他们必须被分割为实部与虚部。

 ※2.MATLAB的FIGURE窗口：最基本的拟合界面与数据统计工具
 MATLAB通过基本的拟合界面也支持基本曲线拟合。利用这个界面，你可以快速地在简单易用的环境中实现许多基本的曲线拟合。这个界面可以实现以下功能：
 a． 通过比样条插值（spline interpolant）、hermite 插值、或者是高达10阶的多项式插值实现数据的拟合；
 b． 对给定数据同时实现多样插值的绘制；
 c． 绘制残差图；
 d． 检查拟合结果的残差的数值；
 e． 通过内插值或者外推插值评价一个拟合结果；
 f． 对拟合结果和残差的模进行图形绘制；
 g． 将拟合结果保存入MATLAB工作空间。
       开发你的拟合应用的时候，你可以通过基本拟合（Basic Fitting）界面，也可以通过命令行函数，也可以同时作用。你可以通过基本拟合界面只能够实现2－D数据的拟合。然而，如果你用subplot绘制多个数据集，只要有至少一个数据集是2D的，那么就可以用基本拟合界面。
       可以通过如下步骤激活基本拟合界面：
 1． 绘制数据；
 2． 从figure窗口的 Tools 菜单条下面选择Basic Fitting 菜单项；
 有关Basic Fitting界面的更多信息，请查阅MATLAB帮助文档的相应部分。
       注意：对于HP，IBM以及SGI平台，MATLAB6.0（R12.0）以及MATLAB6.1(R12.1)的基本拟合界面不受支持。
 数据统计界面可以用来对图形中的每个数据集进行统计量的计算。可以通过如下步骤将数据统计界面激活：
 1． 制数据；
 2． 从figure窗口的 Tools 菜单条下面选择Data Statistics 菜单项；

 

一、优化工具箱函数
 LSQNONLIN 解决非线性最小二乘法问题，包括非线性数据拟合问题
 LSQCURVEFIT  解决非线性数据拟合问题
 下面给出利用这两个函数的例子：
 LSQNONLIN：利用这个函数最小化连续函数只能够找到句柄解。下面的例子说明利用LSQNONLIN函数用下面的函数进行拟合：
     f = A + B exp(C*x)+D*exp(E*x)
 对数据集x与y进行拟合，其中y是在给定x的情况下的期望输出(可以是方程给出数组，也可以是单独数据组成的数组)。为了解决这个问题，先建立下面的名为 fit_simp.m的函数，它利用数据x与y，将他们作为优化输入参数传递给LSQNONLIN。利用给定的数据x计算f的值，再与原始数据y进行比较。经验值与实际计算出的值之间的差异作为输出值返回。LSQNOLIN函数就是最小化这些差的平方和。
 function  diff = fit_simp(x,X,Y)
 % 此函数被LSQNONLIN调用
 % x 是包含等式系数的向量
 % X 与 Y 是作为操作数传递给lsnonlin
 A = x(1);
 B = x(2);
 C = x(3);
 D = x(4);
 E = x(5);
 diff = A + B.*exp(C.*X)+D.*exp(E.*X)-Y;
 下面的脚本是利用上面定义的fit_simp.m函数的一个例子：
 ％ 定义你打算拟合的数据集合
 >> X=0:.01:.5;
 >> Y=2.0.*exp(5.0.*X)+3.0.*exp(2.5.*X)+1.5.*rand(size(X));
 ％ 初始化方程系数
 >> X0=[1 1 1 1 1]';
 ％ 设置用中等模式（memdium-scale）算法
 >> options=optimset('Largescale','off');
 ％ 通过调用LSQNONLIN重现计算新的系数
 >> x=lsqnonlin(@fit_simp,X0,[],[],options,X,Y);
 ％ 调用LSQNONLIN结果输出表明拟合是成功的
 Optimization terminated successfully:
 Gradient in the search direction less than tolFun
 Gradient less than 10*(tolFun+tolX)
 ％ 绘制原始数据与新的计算的数据
 >> Y_new=x(1)+x(2).*exp(x(3).*X)+x(4).*exp(x(5).*X);
 >> plot(X,Y,'+r',X,Y_new,'b');
 
       ※注意：LSQNONLIN 只可以处理实数变量。在处理包括复数变量的实例的拟合的时候，数据集应该被切分成实数与虚数部分。下面给出一个例子演示如何对复数参数进行最小二乘拟合。
 为了拟合复数变量，你需要将复数分解为实数部分与虚数部分，然后把他们传递到函数中去，这个函数被LEASTSQ作为单个输入调用。首先，将复数分解为实部与虚部两个向量。其次，将这两个向量理解成诸如第一部分是实部、第二部分是虚部。在MATLAB函数中，重新装配复数数据，并用你想拟合的复数方程计算。将输出向量分解实部与虚部，将这两部分连接为一个单一的输出向量传递回LEASTSQ。下面，给出一个例子演示如何根据两个复数指数拟合实数X与Y。
 建立方程：
function zero = fit2(x,X,Y)
 % 根据输入x重建复数输入
 cmpx = x(1:4)+i.*x(5:8);
 % 利用复数计算函数
 zerocomp = cmpx(1).*exp(cmpx(2).*X) + cmpx(3).* exp(cmpx(4).*X)-Y;
 % 将结果转换成一个列向量
 % 其中第一部分是实部，第二部分是虚部
 numx = length(X); % 实部长度
 zero=real(zerocomp); %实部
 zero(numx+1:2*numx)=imag(zerocomp); % 虚部
    为了评价计算这个函数，需要X与Y数据集。LSQNONLIN将根据它拟合出下面方程中的参数a，b，c与d：
        Y = a*exp(b*X)+c*exp(d*X);
 其中，a，b，c与d是复数变量。
 >> X=0:.1:5;
 >> Y=sin(X);
 >> Y=Y+.1*rand(size(Y))-.05;
 >> cmpx0=[1 i 2 2*i];
 >> x0(1:4)=real(cmpx0);
 >> x0(5:8)=imag(cmpx0);
 >> x=leastsq(@fit2,x0,[],[],X,Y);
 >> cmpx=x(1:4)+i.*x(5:8);
 >> Y1=real(cmpx(1).*exp(cmpx(2).*X)+cmpx(3).*exp(cmpx(4).*X));
 >> plot(X,Y1,'r');
 >> hold on
 >> plot(X,Y,'+');
 

二、LSQCURVEFIT：利用此函数可以在最小二乘意义上解决非线性曲线拟合（数据拟合）问题。也就是说，给定输入数据xdata，以及观测的输出数据ydata，找到系数x，使得函数F(x，xdata)能够最好的拟合向量值。LSQCURVEFIT利用与LSQNONLIN相同的算法。它的目的在于专门为数据拟合问题提供一个接口。
 在拟合的时候，2维、3维或者N维参数拟合是没有什么差别的。下面给出一个3维参数拟合的例子。待拟合函数是：
   z = a1*y.*x..^2+a2*sin(x)+a3*y.^3;
 建立的myfun.m的函数如下：
 function F = myfun(a, data);
 x = data(1,:);
 y = data(2,:);
 F= a(1)*y.*x.^2+a(2)*sin(x)+a(3)*y.^3;
 下面的脚本展示了这么利用上面的函数：
      >> xdata= [3.6 7.7 9.3 4.1 8.6 2.8 1.3 7.9 10.0 5.4];
 >> ydata= [16.5 150.6 263.1 24.7 208.5 9.9 2.7 163.9 325.0 54.3];
 >> zdata= [95.09 23.11 60.63 48.59 89.12 76.97 45.68 1.84 82.17 44.47];
 >> data=[xdata; ydata];
 >> a0= [10, 10, 10]; % 初识揣测
 >> [a, resnorm] = lsqcurvefit(@myfun,a0,data,zdata)
 Maximum number of function evaluations exceeded;
 increase options.MaxFunEvals
 a = 0.0088  -34.2886   -0.0000
 resnorm = 2.2636e+004
 >> format long
 >> a
 a =  0.00881645527493 -34.28862491919983  -0.00000655131499
 >> option=optimset('MaxFunEvals',800);
 >> [a, resnorm] = lsqcurvefit(@myfun,a0, data, zdata, [], [], option)
 Optimization terminated successfully:
 Relative function value changing by less than OPTIONS.TolFun
 a =  0.00740965259653 -20.21201417111138  -0.00000502014964
 resnorm = 2.195886958305428e+004