动态规划——矩阵连乘的问题

来源:互联网 发布:优先队列最短路径算法 编辑:程序博客网 时间:2024/05/17 07:45

《问题的引出》

看下面一个例子,计算三个矩阵连乘{A1,A2,A3};维数分别为10*100 , 100*5 , 5*50

按此顺序计算需要的次数((A1*A2)*A3):10X100X5+10X5X50=7500次

按此顺序计算需要的次数(A1*(A2*A3)):10X5X50+10X100X50=75000次

所以问题是:如何确定运算顺序,可以使计算量达到最小化。

枚举显然不可,如果枚举的话,相当于一个“完全加括号问题”,次数为卡特兰数,卡特兰数指数增长,必然不行。

《建立递归关系》

子问题状态的建模(很关键):令m[i][j]表示第i个矩阵至第j个矩阵这段的最优解。

显然如果i=j,则m[i][j]这段中就一个矩阵,需要计算的次数为0;

     如果i>j,则m[i][j]=min{m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]Xp[k]Xp[j]},其中k,在i与j之间游荡,所以i<=k<j ;

代码实现时需要注意的问题:计算顺序!!!

因为你要保证在计算m[i][j]查找m[i][k]和m[k+1][j]的时候,m[i][k]和m[k+1][j]已经计算出来了。

观察坐标的关系如图:

所以计算顺序如上右图:相应的计算顺序对应代码为13-15行

m[1][n]即为最终求解,最终的输出想为((A1(A2 A3))((A4 A5)A6))的形式,不过没有成功,待思考...

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1 #include<iostream> 2  using namespace std; 3  const int MAX = 100; 4 //p用来记录矩阵的行列,main函数中有说明 5 //m[i][j]用来记录第i个矩阵至第j个矩阵的最优解 6 //s[][]用来记录从哪里断开的才可得到该最优解 7 int p[MAX+1],m[MAX][MAX],s[MAX][MAX]; 8 int n;//矩阵个数 9 10 void matrixChain(){11 for(int i=1;i<=n;i++)m[i][i]=0;12 13 for(int r=2;r<=n;r++)//对角线循环14 for(int i=1;i<=n-r+1;i++){//行循环15 int j = r+i-1;//列的控制16 //找m[i][j]的最小值,先初始化一下,令k=i17 m[i][j]=m[i][i]+m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];18 s[i][j]=i;19 //k从i+1到j-1循环找m[i][j]的最小值20 for(int k = i+1;k<j;k++){21 int temp=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];22 if(temp<m[i][j]){23 m[i][j]=temp;24 //s[][]用来记录在子序列i-j段中,在k位置处25 //断开能得到最优解26 s[i][j]=k;27 }28 }29 }30 }31 32 //根据s[][]记录的各个子段的最优解,将其输出33 void traceback(int i,int j){34 if(i==j)return ;35 36 traceback(i,s[i][j]);37 traceback(s[i][j]+1,j);38 cout<<"Multiply A"<<i<<","<<s[i][j]<<"and A"<<s[i][j]+1<<","<<j<<endl;39 }40 41 int main(){42 cin>>n;43 for(int i=0;i<=n;i++)cin>>p[i];44 //测试数据可以设为六个矩阵分别为45 //A1[30*35],A2[35*15],A3[15*5],A4[5*10],A5[10*20],A6[20*25]46 //则p[0-6]={30,35,15,5,10,20,25}47 //输入:6 30 35 15 5 10 20 2548 matrixChain();49 50 traceback(1,n);51 //最终解值为m[1][n];52 cout<<m[1][n]<<endl;53 return 0;54 }
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