动态规划——矩阵连乘问题

问题描述：给定n个矩阵：A1,A2,...,An，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2...，n-1。确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。输入数据为矩阵个数和每个矩阵规模，输出结果为计算矩阵连乘积的计算次序和最少数乘次数。

例：设要计算矩阵连乘乘积A1A2A3A4A5A6，其中各矩阵的维数分别是：

      A1：30*35;     A2：35*15;     A3：15*5;     A4：5*10;     A5：10*20;     A6：20*25 

则输入数组为：p[7]={30,35,15,5,10,20,25}，其中p[i]为第i个矩阵的列数，p[0]为第一个矩阵行数。

递推关系：

      设计算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少数乘次数m[i,j]，则原问题的最优值为m[1,n]。

      当i=j时，A[i:j]=Ai，因此，m[i][i]=0，i=1,2,…,n
      当i<j时，若A[i:j]的最优次序在Ak和Ak+1之间断开，i<=k<j,则：m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+pi-1pkpj。由于在计算是并不知道断开点k的位置，所以k还未定。不过k的位置只有j-i个可能。因此，k是这j-i个位置使计算量达到最小的那个位置。

      综上，有递推关系如下：

          

构造最优解：

      若将对应m[i][j]的断开位置k记为s[i][j]，在计算出最优值m[i][j]后，可递归地由s[i][j]构造出相应的最优解。s[i][j]中的数表明，计算矩阵链A[i:j]的最佳方式应在矩阵Ak和Ak+1之间断开，即最优的加括号方式应为(A[i:k])(A[k+1:j)。因此，从s[1][n]记录的信息可知计算A[1:n]的最优加括号方式为(A[1:s[1][n]])(A[s[1][n]+1:n])，进一步递推，A[1:s[1][n]]的最优加括号方式为(A[1:s[1][s[1][n]]])(A[s[1][s[1][n]]+1:s[1][s[1][n]]])。同理可以确定A[s[1][n]+1:n]的最优加括号方式在s[s[1][n]+1][n]处断开...照此递推下去，最终可以确定A[1:n]的最优完全加括号方式，及构造出问题的一个最优解。

备忘录递归算法

     备忘录方法用表格保存已解决的子问题答案，在下次需要解决此子问题时，只要简单查看该子问题的解答，而不必重新计算。备忘录方法为每一个子问题建立一个记录项，初始化时，该记录项存入一个特殊的值，表示该子问题尚未求解。在求解的过程中，对每个带求的子问题，首先查看其相应的记录项。若记录项中存储的是初始化时存入的特殊值，则表示该问题是第一次遇到，此时计算出该子问题的解，并将其保存在相应的记录项中，以备以后查看。若记录项中存储的已不是初始化时存入的特殊值，则表示该子问题已被计算过，相应的记录项中存储的是该子问题的解答。此时从记录项中取出该子问题的解答即可，而不必重新计算。

int [][]s=new int[7][7]; //***纯递归， s[i][j]存放i,j时断点的k；public int mutiply(int i,int j,int []p){if(i==j)return 0;int mutiple=Integer.MAX_VALUE;for(int k=i;k<j;k++){int newmuti=mutiply(i,k,p)+mutiply(k+1,j,p)+p[i-1]*p[k]*p[j];if(mutiple>newmuti){mutiple=newmuti;s[i][j]=k;}}return mutiple;}//***重构最优解；public void path(int i,int j){if(i==j)return;path(i,s[i][j]);path(s[i][j]+1,j);System.out.println(""+s[i][j]);}//***自顶向下记忆化方式int[][]matrix=new int [7][7];//用二维数组记录public int mutiply1(int i,int j,int []p){if(i==j){matrix[i][j]=0;return matrix[i][j];}int mutiple=Integer.MAX_VALUE;for(int k=i;k<j;k++){if(matrix[i][k]==0)//记忆化方式无非是一维数组二维数组而已；{matrix[i][k]=mutiply1(i,k,p);}if(matrix[k+1][j]==0){matrix[k+1][j]=mutiply1(k+1,j,p);}if(mutiple>matrix[i][k]+matrix[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j]){mutiple=matrix[i][k]+matrix[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];s[i][j]=k;}}return mutiple;}