《大话数据结构》读书笔记（四）

第8章 查找（Searching）


查找：根据给定的某个值，在查找表中确定一个字等于给定值的数据元素（或记录）


顺序查找（Sequential Search）
顺序查找又叫线性查找，从表中第一个（或最后一个）记录开始，逐个进行记录的关键字和给定值比。

顺序查找的时间复杂度为O（n）

/* 顺序查找，a为数组，n为要查找的数组个数，key为要查找的关键字 */int Sequential_Search(int *a, int n, int key){int i;for(i=1;i<=n;i++){if (a[i] ==key)return i;}return 0;}

/* 有哨兵顺序查找 */int Sequential_Search2(int *a,int n,int key){int i;a[0] = key;i = n;while(a[i] != key){i--;}return i;    /* 返回0则说明查找失败 */}

有序表查找


折半查找（Binary Search)
折半查找的时间复杂度为O（logn）

int Binary_Search(int *a, int n, int key){int low,high,mid;low=1;high=n;while(low<=high){mid = (low+high)/2;if(key<a[mid])high = mid-1;else if (key>a[mid])low = mid+1;elsereturn mid;}return 0;}

插值查找（Interpolation Search）
根据要查找的关键字key与查找表中最大最小记录的关键字比较后的查找方法，其核心就在与插值的计算公式。
mid = low+(high-low)*(key-a[low])/（a[high]-a[low])
时间复杂度O（logn）


斐波那契查找（Fibonacci Search）

/* 斐波那契查找 */int Fibonacci_Search(int *a, int n, int key){int low, high, mid, i, k;low =1;high =n;k =0;while(n>F[k]-1)    /* 计算n位于斐波那契数列的位置 */k++;for(i=n;i<F[k]-1;i++)  /* 将不满的数值补全 */a[i] = a[n];while(low<=high){mid=low+F[k-1]-1;    /* 计算当前分隔的下标 */if(key<a[mid])       /* 若查找记录小于当前分隔记录 */{high = mid-1;      /* 最高下标调整到分隔下标mid-1处 */k = k-1;           /* 斐波那契数列下标减一位 */}else if (key>a[mid]) /* 若查找记录大于当前分隔记录 */{low=mid+1;         /* 最低下标调整到分隔下标mid+1处 */k = k-2;           /* 斐波那契数列下标减两位 */}else{if (mid<=n)return mid;      /* 若相等则说明mid即为查找到的位置 */elsereturn n;        /* 若mid>n说明是补全数值，返回n */}return 0;}}/* 斐波那契递归函数 */int Fbi(int i){if (i < 2)return (i==0)? 0 : 1;return Fbi(i-1)+Fbi(i-2);}

线性索引查找
线性索引就是将索引项集合组织为线性结构，包括稠密索引、分块索引和倒排索引。


二叉排序树（Binary Sort Tree）
二叉排序树又称二叉查找树。它或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树。
1）左子树均小于它的根结构的值。
2）右子树均大于它的根结构的值。
3）它的左右子树也分别为二叉排序树。

/* 二叉树的二叉链表结点结构定义 */typedef struct BiTNode{int data;  struct BiTNode *lchild, *rchild;}BiTNode, *BiTree;

二叉树的查找操作

/* 递归查找二叉排序树T中是否存在key *//* 指针f指向T的双亲，其初始调用值为NULL *//* 若查找成功，则指针p指向该数据元素结点，并返回true *//* 否则指针p指向查找路径上访问的最后一个结点并返回false */Status SearchBST(BiTree T, int key, BiTree f, BiTree *p){if (! T){*p = f;return false;}else if (key==T->data){*p = T;return true;}else if (key <T->data)return SearchBST(T->lchild,key,T,p);elsereturn SearchBST(T->rchild,key,T,p);}

二叉树插入操作

/* 当二叉排序树T中不存在关键字等于key的元素时*//* 插入key并返回true，否则返回false*/Status InsertBST(BiTree *T, int key){BiTree p,s;if (!SearchBST(*T,key,NULL,&p)){s = (BiTree) malloc (sizeof(BiTNode));s->data = key;s-lchild = s->rchild = NULL;if (!p)*T = s;        /* 插入s为新的根结点 */else if (key<p->data)p->lchild = s;elsep->rchild = s;return true;}elsereturn false;}

二叉排序树删除操作

/* 若二叉排序树T中存在关键字等于key的数据元素时，则删除该数据元素结点，*//* 并返回true，否则返回false */Status DeleteBST(BiTree *T, int key){if (! *T)return false;else{if (key == (*T)->data)return Delete(T);else if (key < (*T)->data)return DeleteBST(& (*T)->lchild,key);elsereturn DeleteBST(& (*T)->rchild,key);}}/* 从二叉排序树中删除结点p，并重接它的左或右子树 */Status Delete(BiTree *p){BiTree q,s;if ((*p)->rchild == NULL)   /* 右子树空则只需重接它的左子树 */{q=*p;*p=(*p)->lchild;free(q);}else if ((*p)->lchild == NULL)  /* 左子树空则只需重接它的右子树 */{q=*p;*p=(*p)->rchild;free(q);}else{q=*p;s = (*p)->lchild;while(s->rchild)      /* 转左，然后向右到尽头（找待删结点的前驱）*/{q=s;s=s->rchild;}(*p)->data = s->data; /* s指向被删结点的直接前驱 */if (q!=*p)q->rchild = s->lchild;  /* 重接q的右子树 */elseq->lchild = s->lchild;  /* 重接q的左子树 */free(s);}return true;}

平衡二叉树（AVL树）


平衡二叉树（Self-Balancing Binary Search Tree 或 Height-Balanced Binary Search Tree），
是一种二叉排序树，其中每一个节点的左子树和右子树的高度差至少等于1.


平衡因子BF（Balance Factor）：将二叉树上结点的左子树深度减去右子树深度的值。
平衡二叉树上所有结点的平衡因子只可能是-1、0和1.


平衡二叉树实现算法

/* 二叉树的二叉链表结点结构定义 */typedef struct BiTNode    /* 结点结构 */{int data;               /* 结点数据 */int bf;                 /* 结点的平衡因子 */struct BiTNode *lchild, *rchild; /* 左右孩子指针 */}BiTNode, *BiTree;

右旋操作

/* 对以p为根的二叉排序树作右旋处理， *//* 处理之后p指向新的树根结点，即旋转处理之前的左子树的根结点 */void R_Rotate(BiTree *P){BiTree L;L = (*P)->lchild;            /* L指向P的左子树根结点 */(*P)->lchild = L->rchild;    /* L的右子树挂接为P的左子树 */L->rchild = (*P); *P = L;                      /* P指向新的根结点 */}

左旋操作

/* 对以p为根的二叉排序树作左旋处理， *//* 处理之后p指向新的树根结点，即旋转处理之前的右子树的根结点 */void R_Rotate(BiTree *P){BiTree R;R = (*P)->rchild;            /* R指向P的右子树根结点 */(*P)->rchild = R->lchild;    /* R的左子树挂接为P的右子树 */R->lchild = (*P); *P = R;                      /* P指向新的根结点 */}

左平衡旋转处理

#define  LH +1   /* 左高 */#define  EH  0   /* 等高 */#define  RH -1   /* 右高 *//* 对以指针T所指结点为根的二叉树作左平衡旋转处理 *//* 本算法结束时，指针T指向新的根结点 */void LeftBalance(BiTree *T){BiTree L, Lr;L = (*T)->lchild;    /* L指向T的左子树根结点 */switch(L->bf){/* 检查T的左子树的平衡度，并作相应的平衡处理 */case LH:                  /* 新结点插入在T的左孩子的左子树上，要作单右旋处理 */(*T)->bf = L->bf = EH;R_Rotate(T);break;case RH:                  /* 新结点插入在T的左孩子的右子树上，要作双旋处理 */Lr = L->rchild;         /* Lr指向T的左孩子的右子树根 */switch(Lr->bf)          /* 修改T及其左孩子的平衡因子 */{case LH:(*T)->bf = RH;L->bf = EH;break;case EH:(*T)->bf = L->bf = EH;break;case RH:(*T)->bf = EH;L->bf = LH;break;}Lr->bf = EH;L_Rotate(& (*T)->lchild);   /* 对T的左子树作左旋平衡处理 */R_Rotate(T);          /* 对T作右旋平衡处理 */}}

插入实现代码

/* 若在平衡的二叉排序树T中不存在和e有相同关键字的结点，则插入一个 *//* 数据元素e的新结点并返回1，否则返回0.若因插入而使二叉排序树失去 *//* 平衡，则作平衡旋转处理，布尔变量taller反映T长高与否 */Status InsertAVL(BiTree *T, int e, Status *taller){if (!*T){/* 插入新结点，树“长高”，置taller为true */*T = (BiTree) malloc (sizeof(BiTNode));(*T)->data =e;(*T)->lchild = (*T)->rchild = NULL;(*T)->bf = EH;*taller = true;}else{if (e == (*T)->data){/* 树中已存在和e有相同关键字的结点则不再插入 */*taller = false;return false;}if (e<(*T)->data){/* 应继续在T的左子树中进行搜索 */if (!InsertAVL(&(*T)->lchild,e,taller))   /* 未插入 */return false;if (*taller)     /* 已插入到T的左子树中且左子树“长高” */{switch((*T)->bf)   /* 检查T的平衡度 */{case LH:         /* 原本左子树比右子树高，需要作左平衡处理 */LeftBalance(T);*taller = false;break;case EH:         /* 原本左右子树等高，现因左子树增高而树增高 */(*T)->bf = LH*taller = true;break;case RH:         /* 原本右子树比左子树高，现在左右子树等高 */(*T)->bf = EH;*taller = false;break;}}}else{/* 应继续在T的右子树中进行搜索 */if (!InsertAVL(&(*T)->rchild,e,taller))    /* 未插入 */return false;if (*taller)     /* 已插入到T的右子树中且右子树“长高” */{switch((*T)->bf){case LH:(*T)->bf = EH;*taller = false;break;case EH:(*T)->bf = RH*taller = true;break;case RH:RightBalance(T);*taller = false;break;}}}}return true;}

平衡二叉树的查找、插入和删除的时间复杂度都是O（logn）。

 

多路查找数（B树）

 

散列表查找（哈希表）

 

散列函数构造方法

 

直接定址法

 

数字分析法

 

平方取中法

 

折叠法

 

除留余数法

f(key) = key mod p (p<=m)

 

随机数法

f(key) = random(key)

 

处理散列冲突方法

 

开放定址法，也称为线性探测法，一旦发生了冲突，就去寻找下一个空的散列地址，只要散列表足够大，空的散列地址总能找到，并将记录存入。

fi(key) = (f(key) + di) MOD m (di=1,2,3,……,m-1)

 

二次探测法

fi(key) = (f(key) + di) MOD m (di=1^2,-1^2,2^2,-2^2,……,q^2,-q^2,q<=m/2)

 

在冲突时，对于位移量di采用随机函数计算得到，称为随机探测法

fi(key) = (f(key) + di) MOD m (di是一个随机数列）

 

再散列函数法

fi(key) = RHi(key) (i=1,2,……,k)，其中RHi就是不同的散列函数

 

链地址法

 

公共溢出区法

 

散列表查找实现

#define SUCCESS   1#define UNSUCCESS 0#define HASHSIZE  12        /* 定义散列表长为数组的长度 */#define NULLKEY   -32768typedef struct{int *elem;                /* 数据元素存储基址，动态分配数组 */int count;                /* 当前数据元素个数 */}HashTable;int m = 0;                  /* 散列表表长，全局变量 *//* 初始化散列表 */Status InitHashTable(HashTable *H){int i;m = HASHSIZE;H->count = m;H->elem = (int *)malloc(m*sizeof(int));for(i=0;i<m;i++)H->elem[i] = NULLKEY;return OK;}/* 散列函数 */int Hash(int key){return key % m; /* 除留余数法 */}/* 插入关键字进散列表 */void InsertHash(HashTable *H, int key){int addr = Hash(key);            /* 求散列地址 *//* 开放定址法的线性探测 */while(H->elem[addr] != NULLKEY)addr = (addr+1) %m;H->elem[addr] = key;}/* 散列表查找关键字 */Status SearchHash(HashTable H, int key, int *addr){*addr = Hash(key);while(H.elem[*addr] != key)       /* 如果不为空，则冲突 */{*addr = (*addr+1) % m;          /* 开放定址法的线性探测 *//* 如果循环回到原点 */if (H.elem[*addr] == NULLKEY || *addr == Hash(key)){return UNSUCCESS;    /* 说明关键字不存在 */}}return SUCCESS;}