Graham's Scan法求解凸包问题

参考：

http://blog.csdn.net/hqd_acm/article/details/6218420

http://www.cnblogs.com/kuangbin/archive/2012/09/29/2707961.html

概念

凸包(Convex Hull)是一个计算几何（图形学）中的概念。用不严谨的话来讲，给定二维平面上的点集，凸包就是将最外层的点连接起来构成的凸多边型，它能包含点集中所有点的。严谨的定义和相关概念参见维基百科：凸包。

这个算法是由数学大师葛立恒(Graham)发明的，他曾经是美国数学学会(AMS)主席、AT&T首席科学家以及国际杂技师协会(IJA)主席。（太汗了，这位大牛还会玩杂技~）

 

问题

给定平面上的二维点集，求解其凸包。

 

过程

1. 在所有点中选取y坐标最小的一点H，当作基点。如果存在多个点的y坐标都为最小值，则选取x坐标最小的一点。坐标相同的点应排除。然后按照其它各点p和基点构成的向量<H,p>与x轴的夹角进行排序，夹角由大至小进行顺时针扫描，反之则进行逆时针扫描。实现中无需求得夹角，只需根据向量的内积公式求出向量的模即可。以下图为例，基点为H，根据夹角由小至大排序后依次为H，K，C，D，L，F，G，E，I，B，A，J。下面进行逆时针扫描。

 

 

2. 线段<H, K>一定在凸包上，接着加入C。假设线段<K, C>也在凸包上，因为就H，K，C三点而言，它们的凸包就是由此三点所组成。但是接下来加入D时会发现，线段<K, D>才会在凸包上，所以将线段<K, C>排除，C点不可能是凸包。

3. 即当加入一点时，必须考虑到前面的线段是否会出现在凸包上。从基点开始，凸包上每条相临的线段的旋转方向应该一致，并与扫描的方向相反。如果发现新加的点使得新线段与上线段的旋转方向发生变化，则可判定上一点必然不在凸包上。实现时可用向量叉积进行判断，设新加入的点为p_{n + 1}，上一点为p_n，再上一点为p_{n - 1}。顺时针扫描时，如果向量<p_{n - 1}, p_n>与<p_n, p_{n + 1}>的叉积为正（逆时针扫描判断是否为负），则将上一点删除。删除过程需要回溯，将之前所有叉积符号相反的点都删除，然后将新点加入凸包。

 

 

在上图中，加入K点时，由于线段<H,K>相对于<H,C>为顺时针旋转，所以C点不在凸包上，应该删除，保留K点。接着加入D点，由于线段<K, D>相对<H, K>为逆时针旋转，故D点保留。按照上述步骤进行扫描，直到点集中所有的点都遍例完成，即得到凸包。

 

复杂度

这个算法可以直接在原数据上进行运算，因此空间复杂度为O(1)。但如果将凸包的结果存储到另一数组中，则可能在代码级别进行优化。由于在扫描凸包前要进行排序，因此时间复杂度至少为快速排序的O(nlgn)。后面的扫描过程复杂度为O(n)，因此整个算法的复杂度为O(nlgn)。

模板：其中判断Pn-1 Pn Pn+1的时候 有些小不同。

#include<stdio.h>#include<math.h>#include<algorithm>#include<iostream>using namespace std;const int MAXN=1000;struct point{    int x,y;};point list[MAXN];int stack[MAXN],top;int cross(point p0,point p1,point p2) //计算叉积  p0p1 X p0p2 {    return (p1.x-p0.x)*(p2.y-p0.y)-(p1.y-p0.y)*(p2.x-p0.x);}    double dis(point p1,point p2)  //计算 p1p2的 距离 {    return sqrt((double)(p2.x-p1.x)*(p2.x-p1.x)+(p2.y-p1.y)*(p2.y-p1.y));}    bool cmp(point p1,point p2) //极角排序函数 ， 角度相同则距离小的在前面 {    int tmp=cross(list[0],p1,p2);    if(tmp>0) return true;    else if(tmp==0&&dis(list[0],p1)<dis(list[0],p2)) return true;    else return false;}    void init(int n) //输入，并把  最左下方的点放在 list[0]  。并且进行极角排序 {    int i,k;    point p0;    scanf("%d%d",&list[0].x,&list[0].y);    p0.x=list[0].x;    p0.y=list[0].y;    k=0;    for(i=1;i<n;i++)    {        scanf("%d%d",&list[i].x,&list[i].y);        if( (p0.y>list[i].y) || ((p0.y==list[i].y)&&(p0.x>list[i].x)) )        {            p0.x=list[i].x;            p0.y=list[i].y;            k=i;        }        }        list[k]=list[0];    list[0]=p0;        sort(list+1,list+n,cmp);}     void graham(int n){    int i;    if(n==1) {top=0;stack[0]=0;}    if(n==2)    {        top=1;        stack[0]=0;        stack[1]=1;    }        if(n>2)    {        for(i=0;i<=1;i++) stack[i]=i;        top=1;                for(i=2;i<n;i++)        {            while(top>0&&cross(list[stack[top-1]],list[stack[top]],list[i])<=0) top--;            top++;            stack[top]=i;        }        }    }