Graham's Scan法求凸包

凸包

凸包（Convex Hull）是一个计算几何（图形学）中的概念。
在一个实数向量空间V中，对于给定集合X，所有包含X的凸集的交集S被称为X的凸包。
X的凸包可以用X内所有点(X1，…Xn)的线性组合来构造.

上面的都没用.
给定二维平面上的点集，凸包就是将最外层的点连接起来构成的凸多边型，它能包含点集中所有的点。
可以想象成一圈橡皮筋收紧成的一圈

Graham′sScan算法

用于求解凸包,O(n)
首先我们找到一个最低的(y轴坐标最小的)标准点,然后按照极角排个序,当两点与标准点共线时,距离小的排前面.
极角就是这个点与标准点所成线与x轴的所夹角
就像这样

注意,实际上我们不需要求得其夹角(因为涉及到三角函数效率低而且会有精度问题),用叉积判断即可
叉积公式与方向的判断

叉积的长度 |a×b| 可以解释成以a和b为邻边的平行四边形的面积。证明这里

然后从左边开始进栈,初始先进两个(图中连边点)

然后进第三个(d点),我们要判断一下如果直接取BD,那么还需不需要CD

怎么判断呢?
其实就是判断BD在不在C的外侧1,如果BD就可以包括C了,那凸包加上C也没有意义了,在栈中把C退掉,然后在对A,B重复上述过程直到不满足上述条件.
判断外侧的话还是要用到叉积,当其叉积为正时我们知道p在q的顺时针
一直进完其他点,最后留在栈中的就是这个点集的凸包了.

CODE

type    dcm=real;    point=record        x,y:dcm;    end;var    pnts,tmp:array[0..10000] of point;    stack:array[0..10000] of longint;    len,size,i,j,n,m,k:longint;    ans:dcm;    std:point;function getDis(a,b:point):dcm; //平面两点距离begin    exit(sqrt(sqr(a.x-b.x)+sqr(a.y-b.y)));end;function DPT(a,b,mid:point):dcm; //向量叉积,mid是原点begin    exit((a.x-mid.x)*(b.y-mid.y)-(b.x-mid.x)*(a.y-mid.y));end;function inOrder(left,right:point):boolean; //如left在right的逆时针则返回truevar result:dcm;begin    result:=DPT(left,right,std);    if (result<0)or(result=0)and(getDis(left,std)<getDis(right,std)) then exit(true)  //left-->right        else exit(false); //q-->pend;procedure qsort(l,r: longint);var    i,j,y: longint;    x:point;begin    i:=l;    j:=r;    x:=pnts[(l+r) shr 1]; //这里不能直接写下标,因为被排序时值会交换,这样中间值就会变.    repeat        while inOrder(pnts[i],x) do inc(i);        while inOrder(x,pnts[j]) do dec(j);        if not(i>j) then        begin            pnts[0]:=pnts[i];            pnts[i]:=pnts[j];            pnts[j]:=pnts[0];            inc(i);dec(j);        end;    until i>j;    if l<j then qsort(l,j);    if i<r then qsort(i,r);end;procedure init;begin    readln(n);    std.x:=maxlongint;    std.y:=maxlongint; //标准点STD    for i:=1 to n do        with tmp[i] do        begin            readln(x,y);            if (y<std.y)or((y=std.y)and(x<std.x)) then            begin                std:=tmp[i];            end;        end;     for i:=1 to n do        if (tmp[i].x<>std.x)or(tmp[i].y<>std.y) then        begin            inc(len);            with pnts[len] do            begin                x:=tmp[i].x;                y:=tmp[i].y;            end; //其实可以将std放到0下标直接排序就好了  这里写的略麻烦        end;    dec(n);    qsort(1,n);    pnts[0]:=std;end;procedure main;begin    stack[1]:=0;    stack[2]:=1;    stack[0]:=2;    for i:=2 to n do    begin        while (DPT(pnts[stack[stack[0]]],pnts[i],pnts[stack[stack[0]-1]])>=0) do            dec(stack[0]);        inc(stack[0]);        stack[stack[0]]:=i;    end;end;procedure print;begin    ans:=0;    for i:=2 to stack[0] do        ans:=ans+getDis(pnts[stack[i]],pnts[stack[i-1]]);    writeln(ans+getDis(pnts[stack[stack[0]]],pnts[stack[1]]):0:2);end;begin    init();    main();    print();end.

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1. 这个要看顺时针还是逆时针 ↩