回溯解题方法

 回溯算法

如果上期的“百钱买百鸡”中鸡的种类数是变化的，用枚举法就无能为力了，这里介绍另一种算法——回溯法。

回溯法是一种既带有系统性又带有跳跃性的搜索法，它的基本思想是：在搜索过程中，当探索到某一步时，发现原先的选择达不到目标，就退回到上一步重新选择。它主要用来解决一些要经过许多步骤才能完成的，而每个步骤都有若干种可能的分支，为了完成这一过程，需要遵守某些规则，但这些规则又无法用数学公式来描述的一类问题。下面通过实例来了解回溯法的思想及其在计算机上实现的基本方法。

例1、从N个自然数(1,2,…,n)中选出r个数的所有组合。

算法分析：设这r个数为a₁,a₂,…a_r,把它们从大到小排列，则满足：

（1）       a₁>a₂>…>a_r;

（2）       其中第i位数(1<=i<=r)满足a_i>r-i;

我们按以上原则先确定第一个数，再逐位生成所有的r个数，如果当前数符合要求，则添加下一个数;否则返回到上一个数，改变上一个数的值再判断是否符合要求，如果符合要求，则继续添加下一个数，否则返回到上一个数，改变上一个数的值……按此规则不断循环搜索，直到找出r个数的组合，这种求解方法就是回溯法。

如果按以上方法生成了第i位数a_i，下一步的的处理为：

（1）       若a_i>r-i且i=r，则输出这r个数并改变ai的值:a_i=a_i-1;

（2）       若a_i>r-i且i≠r，则继续生成下一位a_i+1=a_i-1;

（3）       若a_i<=r-i，则回溯到上一位，改变上一位数的值:a_i-1=a_i-1-1;

算法实现步骤：

第一步：输入n,r的值，并初始化；  i=1;a[1] =n;

第二步：若a[1]>r-1则重复：

若a[i]>r-i，①若i==r，则输出解，并且a[i] =a[i]-1;

②若i!=r，则继续生成下一位：a[i+1] =a[i]-1; i=i+1;

若 a[i]<=r-i，则回溯：i=i-1; a[i] =a[i]-1;

第三步：结束；

程序实现

Int main()

{

   Int n,r,i,j;

   Int a[10];

   Cin>>n>>r;

   i=1;a[1]=n;

   do

     if (a[i]>r-i)  //{符合条件 }

       if (i==r)   //{输出}

       {

          For (j=1;j<=r;j++)

              Cout<<a[j];

          Cout<<endl;

          a[i]=a[i]-1;

} else {  //{继续搜索}

   a[i+1]=a[i]-1;

   i++;

}

Else  //{回溯}

{

i--;

a[i]=a[i]-1;

}

   while (a[1]==r-1);

}

 

下面我们再通过另一个例子看看回溯在信息学奥赛中的应用。

例2 数的划分（noip2001tg）

问题描述 整数n分成k份，且每份不能为空，任意两份不能相同(不考虑顺序)。

例如：n=7，k=3，下面三种分法被认为是相同的。

1，1，5;    1，5，1;    5，1，1;

问有多少种不同的分法。

输入：n，k      (6<n<=200，2<=k<=6)

输出：一个整数，即不同的分法。

样例

输入：  7   3

输出：4   {四种分法为：1,1,5; 1,2,4; 1,3,3; 2,2,3;}

算法分析：此题可以用回溯法求解，设自然数n拆分为a₁,a₂,…,a_k,必须满足以下两个条件：

（1）       n=a₁+a₂+…+a_k  ；

（2）       a₁<=a₂<=…<=a_k  (避免重复计算)；

现假设己求得的拆分数为a₁,a₂,…a_i,且都满足以上两个条件,设sum=n-a₁-a₂-…-a_i,我们根据不同的情形进行处理：

（1）       如果i=k,则得到一个解，则计数器t加1，并回溯到上一步，改变a_i-1的值；

（2）       如果i<k且sum>=a_i,则添加下一个元素a_i+1；

（3）       如果i<k且sum<a_i,则说明达不到目标，回溯到上一步，改变a_i-1的值；

算法实现步骤如下：

第一步：输入自然数n,k并初始化；t=0; i=1;a[i] =1; sum=n-1; nk=n div k;

第二步：如果a[1]<=nk 重复：

若i=k，搜索到一个解，计数器t=t+1;并回溯；

否则：①若sum>=a[i]则继续搜索；

②若sum<a[i]则回溯；

搜索时，inc(i);a[i] =a[i-1];sum=sum-a[i];

回溯时，dec(i); inc(a[i]); sum=sum+a[i+1]-1;

第三步：输出。

程序如下：

Int main()

{

   Int n,nk,sum,i,k;

   Long int t;

   Int a[6];

   Cin>>n>>k;

   nk=n/k;

   t=0; i=1; a[i]=1; sum=n-1; //初始化

   do

     if (i==k)   //判断是否搜索到底

     {

         t++; dec(i); a[i]++;

         sum=sum+a[i+1]-1;   //回溯

} else {

   If (sum>=a[i])    //判断是否回溯

   {

       i++;

       a[i]=a[i-1];

       sum=sum-a[i];  //继续搜

} else {

   dec(i); a[i]++;

   sum=sum+a[i+1]-1;  //回溯

}

}

   while (a[1]>nk);

   cout<<t<<endl;

}

回溯法是通过尝试和纠正错误来寻找答案，是一种通用解题法，在NOIP中有许多涉及搜索问题的题目都可以用回溯法来求解。