平衡二叉树(AVL_Tree)

    平衡二叉树，是一种二叉排序树，其中每一个节点的左子树和右子树的高度差至多等于1。

    将二叉树上结点的左子树深度减去右子树深度的值称为平衡因子BF（Balance Factor）。

    距离插入结点最近的，且平衡因子的绝对值大于1的节点为树根的子树，我们称为最小不平衡子树。

    如果我们需要查找的集合本身没有顺序，在频繁查找的同时也需要经常的插入和删除操作，显然我们需要构建一棵二叉排序树，但是不平衡的二叉排序树，查找效率是非常低的，因此我们需要在构建时，就让这棵二叉树是平衡二叉树，此时我们的查找时间复杂度就为O(logn)，而插入和删除也为O(logn)。这显然是比较理想的一种动态查找表算法。

#include "stdio.h"    #include "stdlib.h"   #include "io.h"  #include "math.h"  #include "time.h"#define OK 1#define ERROR 0#define TRUE 1#define FALSE 0#define MAXSIZE 100 /* 存储空间初始分配量 */typedef int Status;/* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */ /* 二叉树的二叉链表结点结构定义 */typedef  struct BiTNode/* 结点结构 */{int data;/* 结点数据 */int bf; /*  结点的平衡因子 */ struct BiTNode *lchild, *rchild;/* 左右孩子指针 */} BiTNode, *BiTree;/* 对以p为根的二叉排序树作右旋处理， *//* 处理之后p指向新的树根结点，即旋转处理之前的左子树的根结点 */void R_Rotate(BiTree *P){ BiTree L;L=(*P)->lchild; /*  L指向P的左子树根结点 */ (*P)->lchild=L->rchild; /*  L的右子树挂接为P的左子树 */ L->rchild=(*P);*P=L; /*  P指向新的根结点 */ }/* 对以P为根的二叉排序树作左旋处理， *//* 处理之后P指向新的树根结点，即旋转处理之前的右子树的根结点0  */void L_Rotate(BiTree *P){ BiTree R;R=(*P)->rchild; /*  R指向P的右子树根结点 */ (*P)->rchild=R->lchild; /* R的左子树挂接为P的右子树 */ R->lchild=(*P);*P=R; /*  P指向新的根结点 */ }#define LH +1 /*  左高 */ #define EH 0  /*  等高 */ #define RH -1 /*  右高 */ /*  对以指针T所指结点为根的二叉树作左平衡旋转处理 *//*  本算法结束时，指针T指向新的根结点 */void LeftBalance(BiTree *T){ BiTree L,Lr;L=(*T)->lchild; /*  L指向T的左子树根结点 */ switch(L->bf){ /*  检查T的左子树的平衡度，并作相应平衡处理 */  case LH: /*  新结点插入在T的左孩子的左子树上，要作单右旋处理 */ (*T)->bf=L->bf=EH;R_Rotate(T);break; case RH: /*  新结点插入在T的左孩子的右子树上，要作双旋处理 */ Lr=L->rchild; /*  Lr指向T的左孩子的右子树根 */ switch(Lr->bf){ /*  修改T及其左孩子的平衡因子 */ case LH: (*T)->bf=RH; L->bf=EH; break;case EH: (*T)->bf=L->bf=EH; break;case RH: (*T)->bf=EH; L->bf=LH; break;}Lr->bf=EH;L_Rotate(&(*T)->lchild); /*  对T的左子树作左旋平衡处理 */ R_Rotate(T); /*  对T作右旋平衡处理 */ }}/*  对以指针T所指结点为根的二叉树作右平衡旋转处理， */ /*  本算法结束时，指针T指向新的根结点 */ void RightBalance(BiTree *T){ BiTree R,Rl;R=(*T)->rchild; /*  R指向T的右子树根结点 */ switch(R->bf){ /*  检查T的右子树的平衡度，并作相应平衡处理 */  case RH: /*  新结点插入在T的右孩子的右子树上，要作单左旋处理 */   (*T)->bf=R->bf=EH;  L_Rotate(T);  break; case LH: /*  新结点插入在T的右孩子的左子树上，要作双旋处理 */   Rl=R->lchild; /*  Rl指向T的右孩子的左子树根 */   switch(Rl->bf)  { /*  修改T及其右孩子的平衡因子 */ case RH: (*T)->bf=LH; R->bf=EH; break;case EH: (*T)->bf=R->bf=EH; break;case LH: (*T)->bf=EH; R->bf=RH; break;  }  Rl->bf=EH;  R_Rotate(&(*T)->rchild); /*  对T的右子树作右旋平衡处理 */   L_Rotate(T); /*  对T作左旋平衡处理 */ }}/*  若在平衡的二叉排序树T中不存在和e有相同关键字的结点，则插入一个 */ /*  数据元素为e的新结点，并返回1，否则返回0。若因插入而使二叉排序树 */ /*  失去平衡，则作平衡旋转处理，布尔变量taller反映T长高与否。 */Status InsertAVL(BiTree *T,int e,Status *taller){  if(!*T){ /*  插入新结点，树“长高”，置taller为TRUE */  *T=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode)); (*T)->data=e; (*T)->lchild=(*T)->rchild=NULL; (*T)->bf=EH; *taller=TRUE;}else{if (e==(*T)->data){ /*  树中已存在和e有相同关键字的结点则不再插入 */ *taller=FALSE; return FALSE;}if (e<(*T)->data){ /*  应继续在T的左子树中进行搜索 */ if(!InsertAVL(&(*T)->lchild,e,taller)) /*  未插入 */ return FALSE;if(taller) /*   已插入到T的左子树中且左子树“长高” */ switch((*T)->bf) /*  检查T的平衡度 */ {case LH: /*  原本左子树比右子树高，需要作左平衡处理 */ LeftBalance(T);*taller=FALSE; break;case EH: /*  原本左、右子树等高，现因左子树增高而使树增高 */ (*T)->bf=LH; *taller=TRUE; break;case RH: /*  原本右子树比左子树高，现左、右子树等高 */  (*T)->bf=EH; *taller=FALSE; break;}}else{ /*  应继续在T的右子树中进行搜索 */ if(!InsertAVL(&(*T)->rchild,e,taller)) /*  未插入 */ return FALSE;if(*taller) /*  已插入到T的右子树且右子树“长高” */ switch((*T)->bf) /*  检查T的平衡度 */ {case LH: /*  原本左子树比右子树高，现左、右子树等高 */ (*T)->bf=EH; *taller=FALSE;break;case EH: /*  原本左、右子树等高，现因右子树增高而使树增高  */(*T)->bf=RH; *taller=TRUE; break;case RH: /*  原本右子树比左子树高，需要作右平衡处理 */ RightBalance(T); *taller=FALSE; break;}}}return TRUE;}int main(void){    int i;int a[10]={3,2,1,4,5,6,7,10,9,8};BiTree T=NULL;Status taller;for(i=0;i<10;i++){InsertAVL(&T,a[i],&taller);}printf("本样例建议断点跟踪查看平衡二叉树结构");return 0;}