波斯的棋盘

波斯的棋盘
The Persian Chessboard

卡尔·萨根

碧声译自《数以十亿》第二章
　　再没有一种语言比数学更通用、更简单、更少错误、更明确、更值得用于描述自然事物间恒定的关系。数学是人类头脑的产物，似乎生来就是为了弥补生命的短暂和感觉的偏差。
——约瑟夫·傅立叶，《热分析理论》导论(1822)

　　我第一次听说这个故事时，据说它发生在古波斯。但它也可能发生在印度甚或中国，总之是很久很久以前。国王的第一智囊——宰相发明了一种新游戏。玩法是在一个分成64个红色和黑色小方块的方板上，移动一些棋子。最重要的棋子是国王，其次是宰相——在一位宰相发明的游戏里，这是理所当然的。游戏的目标是捉住对方的国王，因此这种游戏在波斯语里叫作shahmat，其中shah的意思是国王，mat是死。俄国人仍把它称为shakhmat，似乎传达着某种挥之不去的革命气息。甚至英语里也仍回荡着这个名字的余音——最后的一着叫作checkmate（将死）。不用说，这种游戏就是象棋。随着时间的流逝，棋子、棋步、游戏规则都发生了变化，例如宰相换成了力量更强的王后。

　　为什么一个国王会为一个叫做“国王之死”的游戏问世感到高兴，实在难以理解。但故事就是这样发展的。他非常高兴，让宰相提出他想要的奖赏。宰相早就想好了，对国王说，他是个谦逊的人，只想要一点普通的奖赏。他指着自己发明的棋盘上的8行和8列格子说，希望能在第一个格子里放一粒麦子，第2个格子增加一倍，第3个再增加一倍，直到所有的格子填满。国王反对说，对这样重要的一桩发明而言，这份奖品太寒酸了。他表示愿意赏赐珠宝、舞姬、宫殿……但宰相得体地低眉顺眼，拒绝了这些：他只想要一小堆麦子。国王暗暗对他的谦卑和节制感到惊奇，同意了他的请求。

波斯的棋盘, by Patrick McDonnell
　　然而，皇家仓库的总管开始数麦子时，国王遇到了一个令人不快的意外。麦子的数目开始是很小的：1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024，……但到第64个格子时，麦粒数目变得极为庞大，令人错愕。事实上，这个数目将近1850亿亿，见下表。这位宰相大概非常喜欢高纤维食物。

　　国王应该要求宰相进行的计算

　　别害怕，这非常简单。我们要计算整个波斯棋盘上的麦粒数量，一种漂亮（而且非常精确）的计算方法是这样的：

　　指数表示2自乘的次数，2²=4，2⁴=16，2¹⁰=1024，如此种种。设棋盘上谷粒的总数为S，从第一格的1到第64格的2⁶³，那么很简单

　　S=1+2+2²+2³+s⁴+……+2⁶²+2⁶³

　　等式两边都乘以2，得到

　　2S=2+2²+2³+2⁴+……+2⁶²+2⁶³+2⁶⁴

　　将第二个式子减去第一个式子，得到

　　2S-S=S=2⁶⁴-1

　　这就是正确答案。

　　以常用的10为底数的方式来计，这大概是多少呢？2¹⁰差不多是1000，即10³（误差2.4%）。所以2²⁰=2^10×2=(2¹⁰)²约等于(10³)²=10⁶，即10自乘6次，为1百万。类似地，2⁶⁰=(2¹⁰)⁶约等于(10³)⁶=10¹⁸。所以2⁶⁴=2⁴×2⁶⁰约等于16×10¹⁸，也就是16后面跟18个零，即1600亿亿粒麦子。更精确的计算结果是1860亿亿粒。

　　1850亿亿粒麦子有多重？如果一粒麦子长1毫米，所有的麦子加起来可能达到750亿公吨，远远超过国王的粮仓里所储存的麦子。事实上，以目前世界小麦生产水平，也要150年才能生产这么多。接下来的事没有流传下来。究竟是国王自责没学好算术、因而把王位传给了宰相，或者宰相遭受了一项新游戏“viziermat”（宰相之死）的磨难，我们就无从得知了。

　　波斯棋盘的故事可能只是个寓言，但古代波斯和印度人在数学方面进行了出色的开拓研究，明白通过不断倍增可以得到巨大数目。要是象棋棋盘上有100个（10×10）而不是64个（8×8）个格子，最后要支付的麦粒总量将和地球一样重。每一数目都是前一数的固定倍数，这样的数列称为几何级数，这一增长过程称为指数增长。

　　指数在许多重要的领域中出现，包括我们不熟悉的和熟悉的——比如复式利率。如果哪位祖宗在200年也就是美国革命后不久给你在银行里存了10美元，并且它以5%的年息稳定递增，现在它会增值到10×1.05²⁰⁰即172,925.81美元。但很少有祖宗对后代子孙的财产这么热心，而且那时候10美元是一大笔钱。1.05²⁰⁰的意思是1.05自乘200次。如果这位祖先得到的年利率是6%，现在你就有超过100万美元。7%年息的所得超过750万美元，如果年息高达10%，会得到19亿美元之巨。

　　与此类似的是通货膨胀。如果通胀率为每年5%，1美元在一年后便只值0.95美元,两年后是0.95²=0.91美元，10年后是0.61美元，20年后0.37美元，依此类推。这对那些每年领取一定数额的退休金、金额不按通胀调整的退休人士来说，是非常实际的问题。


　　重复翻倍造成指数增长，最普通的情形是生物繁殖。首先考虑一种简单情况：一个细菌通过分裂为二的方式进行繁殖。只要有充足的食物供应、环境中没有毒素，细菌群落就会呈指数增长。在非常理想的情况下，每15分钟就能倍增一次。这意味着每小时倍增4次，每天倍增96次。尽管一个细菌重仅万分之一克，一天之后，经过疯狂的无性生殖，它的后代加起来会像一座山那么重，一天半多一点儿就能赶上地球那么重，两天就会比太阳还重……不用多久，整个宇宙就全是细菌了。这不是一种令人愉快的场景，幸好从来没发生过这样的事。为什么没有？因为这类指数增长遇到了自然障碍。细菌们没有食物了，或者产生毒素彼此伤害，或者是因为隐私太少而不好意思繁殖后代。指数不能无休止地进行下去，否则就会吞噬一切。远在这之前，它们就遇到了障碍。指数曲线变得平坦了。

　　这一特点对艾滋病非常重要。目前在许多国家，出现艾滋病症状的人数呈指数增长，倍增时间为一年。也就是说，每年的艾滋病病例数量是前一年的两倍。艾滋病已经造成可怕的屠杀，如果它继续以指数形式发展下去，将会形成史无前例的大灾难。十年后艾滋病病例数量就会增加一千倍，二十年后是100万倍。但将现在的艾滋病人数量增加百万倍，所得数目将会大大超过地球上的人口总数。如果没有自然障碍阻止艾滋病每年的倍增，并且这种疾病注定会致人死命（并且没有找到治愈方法），地球上所有的人都将死于艾滋病，很快。

　　不过，有些人似乎天生对艾滋病免疫。据美国公共卫生服务传染病中心称，艾滋病病例在美国的倍增起初几乎完全限制在少数脆弱的、性活动在很大程度上与其余人口隔离的群体中，特别是男同性恋者、血友病患者和静脉注射吸毒者。如果找不到治愈艾滋病的方法，那么大多数共用皮下注射器的静脉注射吸毒者将死于艾滋病——不是所有的人，因为有些人天生对艾滋病免疫，但也差不多是全部。有多个性伙伴、进行不安全性行为的男同性恋者也是如此，但完全使用安全套的、与单一性伙伴保持长期关系的，以及，还是那少数天生对艾滋免疫的人不会。自20世纪80年代以来长期保持一夫一妻关系的异性恋者，谨慎地实行安全性行为者，不共用针头者——这样的人很多——有效地与艾滋病隔离了。人口统计学上最危险的人群的曲线趋于平缓之后，其它群体将取而代之。目前在美国，这样的群体似乎是年轻的男女异性恋者，他们有时候激情压倒理智，进行不安全的性行为。他们中的许多人会死，少数幸运的、天生有免疫力的或节制色欲的人不会。然后这个群体又会被下一个——可能是下一代的男同性恋者——所替代。最终对整个人群的曲线会平缓下来，艾滋病杀死的人比地球总人口要少很多（对众多死者和他们爱的人来说，这是一点小小的安慰。）

　　指数也是世界人口危机背后的核心概念。在历史上大多数时间里，地球人口总数保持稳定，出生率和死亡率几乎平衡，这称为“稳态”。农业（包括种植和收割那位宰相所渴求的麦子）发明之后，这颗星球上的人口开始增长，进入与稳态大不相同的指数增长状态。现在世界人口倍增的时间约为40年。正如英国牧师托马斯·马尔萨斯在1798年指出的，以指数形式增长——马尔萨斯称之为几何级数——的人口，超过了任何可能的食物供应增长。绿色革命、水耕法、沙漠绿化，这些都不能压倒人口的指数增长。

　　即使走出地球，也没有解决的办法。现在世界上每天出生的人数比死亡的人数多出24万，我们的能力还远没有达到每天将24万人送入外空间的程度。在地球轨道、月球或其它行星上建立定居点，并不能明显削弱人口爆炸。即使有可能用超光速飞船将地球上的每个人迁移到遥远恒星周围的行星上，也几乎不能改变什么——大概过一千年，银河系里所有可栖居的行星都将被填满，除非我们降低出生率。永远不要低估了指数的力量。

　　地球人口随时间增长的状况如下图所示。很清楚，我们正处在（或正要脱离）一个急剧指数增长的状态。但许多国家如美国、俄罗斯和中国已经或快要达到这样一种状态，其人口增长放缓，进入差不多稳定的状态，这称为人口零增长（ZPG）。尽管如此，由于指数是如此的威力强大，即使人类社会只有很少一部分在某些时候以指数增长，事情也不会有什么两样——虽然有很多国家达到人口零增长，世界人口还是以指数形式增长。


　　贫困与高出生率之间的相关性，在世界各地都有据可查。小国和大国，资本主义国家和共产主义国家，天主教国家和穆斯林国家，西方国家和东方国家——几乎所有的情况下，贫困的折磨消失时，人口的指数增长也停止或放缓了，这称为人口转型。使地球上每一处都完全成这种转型，关系到人类重要的长期利益。这就是为什么帮助其他国家自给自足不仅是基本的人类福利，也关系到那些有能力提供帮助的富裕国家自身的利益。世界人口危机的核心问题之一是贫困。

　　人口转型的例外情况十分有趣，有些人均收入高的国家仍有高出生率。但在这些国家，避孕药品和工具很难获得，而且/或者女性缺少政治权利。这其中的关系并不难理解。

　　现在地球上约有60亿人。如果倍增时间保持不变，40年后会是120亿，80年后是240亿，120年是480亿……但不会有人相信地球能养活这么多人。由于指数增长的威力，现在消除全球贫困的成本似乎更低，也更人道——比起未来许多年里所有可能的解决方案来看。我们的任务是促成全球的人口转型，使指数曲线趋于平缓——通过消除贫困的折磨，推广安全有效的生育控制方法，在决策、立法、司法、军事、以及能影响公共观念的机构中给女性提供实质的政治权利。如果失败了，其它一些更难为我们所控制的过程，会替我们完成的。

　　还有这样的情况……

　　核裂变的想法于1933年9月第一次出现在流亡伦敦的匈牙利科学家利奥·西拉德（Leo Szilard）脑中。他考虑人类是否可能释放隐藏在原子核里的巨大能量，考虑如果一个中子轰击一个原子核，会发生什么。（由于中子不带电，它不会像质子那样被核所排斥，而会直接与核相撞。）当他在南安普顿街的一个十字路口等待交通信号灯变色时，他想到，可能有某种物质，某种化学元素，在被一个中子轰击时会放出两个中子，这两个中子又各自导致更多中子被释放出来。于是西拉德突然有了这样的念头：一个原子核的链式反应，产生的中子量呈指数形式增长，原子变成碎片分开。那天晚上，他在斯特兰德大饭店的小房间里计算出，如果能够进行可控的中子链式反应，几磅物质就能够释放出足以支持一座小城市运转一年的能量……或者，突然释放出来的话，足以把这座城市彻底摧毁。西拉德最终移民到美国，开始系统地研究化学元素，寻找在遭中子轰击后能产生更多中子的元素。铀看上去是一个合适的候选者。西拉德说服阿尔伯特·爱因斯坦给罗斯福总统写了那封著名的信，敦促美国制造原子弹。在1942年芝加哥首次铀链式反应试验里，西拉德起到重要作用，那次试验最终导致了原子弹的诞生。在余生中，他一直为呼吁人们警惕这种武器的危险而奔走，这种武器是由他首先构思出来的。他以另一种方式发现了指数的可怕力量。

　　每个人都有双亲，4位祖父母，8位太祖父母，16位元祖父母。每回溯一代，直系祖先的数目就增加一倍。这完全是另一种波斯棋盘问题。如果25年为一代，则64代以前是64×25=1600年前，即罗马帝国衰亡之前不久。因此现在的每一个人在公元400年都有1850亿亿位祖先——看起来大概是这样。但这数字远远超出了地球的总人口——不管是那时的还是现在的。它也远超出所有曾经存在过的人的总数。我们的计算中无疑出现了问题。问题在哪里呢？我们假设的是，所有这些直系祖先都是不同的人，但事实当然不是这样。一位祖先以许多不同的方式与我们产生联系。我们与每位亲戚都有这种重复的联系，对于很远的亲戚，重复的次数非常大。

　　对整个人类也有类似的情况。如果我们回溯得足够远，就会发现世界上任意两个人都有一位共同的亲戚。美国每选出一位新总统，就会有人——通常是英国人——发现，新总统与英国国王或女王有亲戚关系，这似乎把说英语的人联系在了一起。如果两个人出自同一国家或同一种文化，或来自世界上同一个角落，且有完善的家谱记录，很有可能发现共同的祖先。但不管是否能发现，亲戚关系是很清楚的。我们——地球上所有的人，都是表兄弟姐妹。

　　指数的另一种常见表现形式是半衰期。一种放射性“母”元素，例如钚或镭，会衰变成另一种或许更安全的“子”元素，但不是一次就全衰变掉。其衰变是以统计形式进行的，一半的物质发生衰变所需时间是固定的，称为半衰期。剩下的物质经过另一个半衰期又会衰变掉一半，依此类推。例如，如果半衰期是一年，一年内会有一半衰变掉，两年内会衰变得剩下总数一半的一半，十年后剩下总数的千分之一，等等。不同元素有不同的半衰期，当我们考虑如何处理核电厂的放射性废料，或预测核战争的放射性尘埃时，半衰期是很重要的概念。这是一种指数衰减，就像波斯的棋盘代表了指数增长一样。

　　放射衰变是确定历史年代的重要方法。如果我们能测量样本中放射性母物质的含量和衰变产物的含量，就能确定这一样本的历史有多长。通过这种方法，我们发现所谓都灵的尸布并不是耶稣下葬用的布，而是14世纪（当时教会当局已经揭发了它）的一桩虔诚骗局。我们还发现人类在几百万年前就会用火，发现地球上最古老的生物化石年龄超过35亿年，发现地球约有46亿年历史。当然，宇宙的年龄比这还要长几十亿年。如果你理解了指数，宇宙中的许多奥秘就在你掌握中。

　　仅仅定性地了解某一事物，这种了解是模糊的。如果你定量地了解——得到某些数值测量结果，与无限的其它可能性不同——你就开始较为深入地了解它，领略它的美，掌握它的能力。害怕把问题量化，等于剥夺自己的资格，放弃最有效地理解这个变化的世界的方法。 转自