算法导论 6.3-3解答

证明：在任一含n个元素的堆中，至多有ceiling(n/(2^(h+1)))个高度为h的节点。

分析：刚开始分析这道题，犯了结点高度h的错误。

具体问题如下：

对于满二叉树，上述命题成立。但如果是非完全二叉树，命题不成立。举例说明：假设有10个元素，那么高度为1的节点也就是第3层的节点，一共有4个，而不是ceiling(10/2^2))=3个，为什么呢？
经过思考以后，对于结点高度的定义，是按照当前所在结点为根结点的子树决定的，而不是由整棵树决定，也就是所有的叶子结点，它的高度全部为0。还是假设有10个元素，它的高度如下图所示：
 
命题理解正确了，开始用数学归纳法证明吧！
证明：
（1）对于h=0， 即叶子结点的个数，由6.1-7习题可知，叶子结点的个数最多为ceiling（n/2）=ceiling（n/2^(h+1)）,即初始化成立。
（2）假设h=x成立，即高度为x的结点最多有ceiling（n/2^(x+1)）,
那么对于高度为h=x+1的结点应该为高度为x的父结点，所以高度为x+1的结点个数最多为ceiling（n/2^(x+1)）/2=ceiling(n/2^(x+2))=ceiling(n/2^(h+1)).
命题得证。

转载自：http://blog.csdn.net/lqh604/article/details/7381893

解法2：（不知是否正确）

该完全二叉树高log2(n+1)则高为h的节点的层号为log2(n+1) - h由于二叉树第i层最多有2^(i - 1)个节点所以该层最多的节点数为2^(log2(n+1) - (h + 1))个，即：ceiling (n / 2 ^ (h + 1))

转自：http://bbs.sjtu.edu.cn/bbstcon?board=Algorithm&reid=1218003164