线性代数学习笔记二：矩阵及其运算

参考：《线性代数》同济大学第四版

1. 矩阵

    1）定义：元；

    2）实矩阵、复矩阵；n阶矩阵（n阶方阵）；行矩阵（行向量）、列矩阵（列向量）；同型矩阵（行列数均相等）；两矩阵相等；零矩阵；系数矩阵；n阶单位矩阵（单位阵）、对角矩阵（对角阵）

    3）矩阵和线性变换之间存在一一对应关系，因此可用矩阵来研究线性变换，也可用线性变换来解释矩阵的含义

2. 矩阵的运算

    1）矩阵的加法

        a）定义

        b）同型矩阵有意义

        c）运算规律（交换律、结合律）

        d）矩阵的减法：负矩阵；矩阵的减法

    2）数与矩阵相乘

        a）定义

        b）运算律

        c）矩阵的线性运算：矩阵相加+数乘矩阵

    3）矩阵与矩阵相乘

        a）定义

        b）第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数

        c）必须注意矩阵相乘的顺序

        d）运算律

        e）纯量阵

        f）矩阵的幂：定义；方阵才有意义；运算律

    4）矩阵的转置

        a）定义

        b）运算律（4条）

        c）对称矩阵（对陈阵）

    5）方阵的行列式

        a）定义

        b）运算律（3条）det（A*B）=det（A）*det（B）

        c）矩阵A的伴随矩阵（伴随阵）：定义；AA* = A*A = det(A)E

    6）共轭矩阵

        a）定义

        b）运算律（3条）

3. 逆矩阵

    1）逆矩阵：定义；唯一

    2）定理1：若矩阵A可逆，则det(A)不等于零

    3）定理2：

        a）内容：若det(A)不等于零，则矩阵A可逆，且其为(1/det(A))A*（A*为A的伴随矩阵）

        b）奇异矩阵（det(A)=0）、非奇异矩阵

        c）矩阵A为可逆矩阵的充要条件：det（A）不等于零（可逆矩阵就是非奇异矩阵）

        d）推论

    4）运算律（4条）

    5）矩阵A的m次多项式

        a）定义

        b）计算A的多项式

4. 矩阵的分块法

    1）分块矩阵

    2）分块矩阵的运算规律（和、数与其相乘、乘法、转置、分块对角矩阵）

    3）克拉默法则