数论概论笔记 第2章 勾股数组
来源:互联网 发布:河钢唐钢 云计算 编辑:程序博客网 时间:2024/05/16 16:03
毕达哥拉斯定理(勾股定理):a^2 + b^2 = c^2; 有a,b,c∈N
本原勾股数组(PPT)是一个三元组(a,b,c),其中a, b, c没有公因数,且满足
a^2 + b^2 = c^2
可证明a,b的奇偶性不同且c为奇数。证明如下:
如a, b为偶数,则c必为偶数,a, b, c不互质,不构成勾股数组;
如a, b为奇数,则c必为偶数。设
a = 2 x + 1, b = 2y + 1, c = 2z,有:
4(x^2 + y^2 + x + y) + 2 = 4z^2,
2(x^2 + y^2 + x + y) + 1 = 2z^2,左边为奇数,右边为偶数,矛盾;
故a, b奇偶性不同,c为偶数。证明完毕。
设a为奇数,由勾股定理可得
a^2 = (c - b) (c + b)。
(c - b) 与(c + b) 互质,证明如下:设(c - b)与 (c + b)的公约数为d,有(c - b) + (c + b) = 2c | d, (c + b) - (c - b) = 2b | d,且b, c互质,则d为1或2,
此时(c - b)(c = b) = a^2 | d。如d=2,有a | 2, 矛盾。
故(c - b) 与(c + b)互质,除1外没有相同的因子。证明完毕。
由于a^2 = (c - b) (c + b),(c - b) (c + b)之中的素因子成对出现,则(c - b), (c + b) 为完全平方数。
设 c + b = s^2, c - b = t^2, 有
c = (s^2 + t^2) / 2, b = (s^2 - t^2) / 2, a = st, s, t 互质且为奇数。
自此,得到勾股数组定理如下:
每个本原勾股数组(a, b, c)(其中a为奇数,b为偶数,c为偶数)都可从如下公式得出:
a = st, b = (s ^ 2 - t ^ 2) / 2, c = (s ^ 2 + t ^ 2) / 2,, 其中1 ≤ t < s是互质的奇数。
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