数论概论笔记 第12章 素数

定理12.1 无穷多素数定理：存在无穷多个素数。

欧几里得证明：

假定已列出有限素数表， 由 p[1], p[2], p[3],……p[r]组成

则有数 A = p[1] * p[2] * p[3] *…… * p[r] + 1，

如A为素数，则其必大于素数表中的任意素数，故不在素数表中；

如A为合数，则A定能被某素数q整除，有

q | (p[1] * p[2] * p[3] *…… * p[r] + 1)；

如 q 等于某 p[i]，则 q 必整除 1，与q为素数矛盾，

故 q 不在素数表中；

综上所述，已知素数表总可以扩展成更大的素数表，即素数有无穷多个。

定理12.1证明完毕。

定理12.2 模4余3的素数定理：存在无穷多个模4余3的素数。

证明：设模4余3的初始素数表为

3, p[1], p[2], p[3],……p[r]

考虑数A = 4 * p[1] * p[2] * p[3] *…… * p[r] + 3，

如A为素数，则定理成立；

如A为合数，设

A = q[1] * q[2] * …… * q[s]， 其中 q[i] 为素数且不等于3；

断言1：q[i]中至少有一个必为模4余3；

断言1证明：

由于A为奇数，故q[i]必为奇数，

则 q[i] 模4余3或模4余1；

如断言1不成立，则所有q[i] 模4余 1

则乘积 A 必模4余1，与假设矛盾，

故 q[i] 中至少有一个模4余3；

断言1证明完毕。

断言2：q[i]不在初始素数表中。

断言2 证明：

A = ∏q[i]， 故，q[i] | A；

由A的定义可知， 3, p[1], p[2], p[3],……p[r] 中没有数整除A，

故q[i] 不在初始素数表中。

断言2证明完毕。

由断言1、2可知，有某模4余3的素数 q[k] 不在初始素数表中，

重复此过程可得无穷多个模4余3的素数，故定理12.2成立。

定理12.2证明完毕。

定理12.3 算术级数的素数狄利克雷定理：

设a与m是整数，gcd(a, m) = 1，则存在无穷多个素数模m余a，

即存在无穷多个素数p满足：

p ≡ a (mod m)