HDU1033 Buy the Ticket（卡特兰 大数）

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1133
怎么说呢，做这道题还是感觉很艰难的，最开始我一直没有想明白，到底是怎么排列的。虽然知道是用卡特兰数，但是感觉自己的推理能力还是有限，搞了一下午，终于弄好了。
大概的理解是这样的：跟数的进栈出栈是一样的原理，不过这里用位来分析，可能更直观。假设50的表示为0,100表示为1.一共有m个0和n个1.用m+n位就可以表示。m+n位中选n个来放0，则剩下的用来放1，这样排列出来，总数应该是C(m+n,n)。
下面来分析不满足情况的排列：
我们知道只要100的第一次出现在50之前，那么这种排列就是不满足要求的。也就是1出现在0之前，有如0110.......。这里不妨设在第三位的时候2k+1位上第一次出现1在0之前了，那么前面有k+1个1和k个0，后面会有n-k-1个1和m-k个0。将后面的0和1相互对调，这样排列中就有m+1个1和n-1个0。这样对调后的排列与不满足条件的排列是一一对应的，所以不满足条件的排列的总数的C(m+n,m+1)。
参考资料：http://baike.baidu.com/view/2499752.htm
当然所有的排列，要么满足条件，要么不满足条件。故满足条件的排列数为：C(m+n,n)-C(m+n,m+1)；化简之后可得到(m+n)!*(m-n+1)/(m+1)，注意到这里涉及到阶乘所以要考虑大数的相乘。而大数的乘法相对于除法来讲要简单得多。所以将公式化简一下。当n=0时，结果即(m+n)! ；当n>0时，在阶乘中跳过m+1。
好！下面就看一下代码。代码中用字符串表示大数，在字符串中从0~后面，是从低位到高位，最后加一个‘#’标记束。

#include<stdio.h>#include <string.h>#include<stdlib.h>#define M 10000char str[M];//算100以内的阶乘，存放在fact里面char fact[205][M];//用字符串表示大数，以'#'号结尾//str1和str2是乘数，str是结果int Mutiply(char *str1, char *str2, char *str){int i,j;int a,b;int Result[M];memset(Result,0,sizeof(Result));for(i = 0; str1[i] != '#'; ++i){a = (int)(str1[i] - '0');for(j = 0; str2[j] != '#'; ++j){b = (int)(str2[j] - '0');Result[i + j] += a * b;}}j += i - 1;i = 0;//到了最高位，如果不为零，就一直赋值。for(i = 0; (i < j || Result[i] > 0); ++i){str[i] = Result[i] % 10 + '0';Result[i+1] += Result[i] / 10;}str[i] = '#';//加结束标志return i;}//nLen表示所有字符的个数void Invert(char *str, int nLen){int i;char temp;for(i = 0; i < (nLen >> 1); ++i){temp = str[i];str[i] = str[nLen - i - 1];str[nLen - i - 1] = temp;}}void Print(char *str, int nLen)//打印{int i;for(i = 0; i < nLen; ++i){putchar(str[i]);}printf("\n");}//计算阶乘int Fact(int a, int b){char buf[15];int nLen;fact[0][0] = '0';fact[1][0] = '1';fact[1][1]= '#';//记得加结束标志for(int i = 2; i <= a; ++i)\{if(i == b){memcpy(fact[i], fact[i - 1], (nLen + 2) * sizeof(char));continue;}itoa(i,buf, 10);nLen = strlen(buf);buf[nLen] = '#';//记得加结束标志buf[nLen + 1] = 0;Invert(buf,nLen);nLen = Mutiply(fact[i - 1], buf, fact[i]);fact[i][nLen] = '#';//记得加结束标志}return nLen;}void main(){int m,n;int nLen;int t = 1;char buf[5];while (scanf("%d %d", &m, &n)){if(!m && !n){break;}if(m < n){printf("Test #%d:\n0\n",t++);continue;}nLen = Fact(m+n,m+1);printf("Test #%d:\n",t++);if(n)//如果n不为零，则需要乘(m-n+1){itoa(m - n + 1,buf,10);nLen = strlen(buf);buf[nLen] = '#';buf[nLen + 1] = 0;Invert(buf,nLen);nLen = Mutiply(fact[m+n],buf,str);Invert(str, nLen);Print(str, nLen);}else{Invert(fact[m],nLen);Print(fact[m], nLen);}}}