组合数学-反射原理

反射原理：

        设 点 A， B 都在横线 l 的同侧， 点 C 与点B关于横线 l 对称。 如果 A与C能够用折线连接， 则A与B也能够用折线连接，

         并且连接A与B的折线中， 触到或穿过 l 的折线条数等于从 A 到 C 的折线条数。

证明：

        由于 A， C 位于 l的两侧，  从A到C的折线必然穿过 l,   从第一个交点起，将折线的以后部分关于 l 进行反射， 必然得到从 

        A到B的折线，且此折线与l接触或相交，因而 A与B也能用折线连接； 反之， 如果A到B的折线若与l接触或相交， 经过如上

       的反射， 必然得到从A到C 的折线，因而两者一一对应， 个数相等。

应用举例：

在一次选举中， A得到的选票数为 a,    B得到的选票数为b,   a > b。  现将选票排列后一张张统计， 试问有多少种排列， 在任一时刻

A 的选票数都比 B 的选票数多？

应用折线模型， 设A得票记为0(折线上升)， B得票记为1，x 轴代表已统计的总票数， y轴为a领先b的票数， 则折线起点(0, 0),    终点 （a+b,  a-b）

A 始终领先于 B的 折线必然经过 D（1，1）点，问题转化为求从 (1,1) 到 （a+b, a-b）满足条件的折线条数。

根据前一篇文章中的折线计数公式，  从A到B的所有折线条数为 C(a+b-1,  k),    k=(a+b-1+a-b-1)/2=a-1

如果折线与 x 轴接触或相交，把第一个交点之前的折线关于 x 轴反射，必然经过 E（1， -1）点， 这样的折线条数用上面的公式计算为

C(a+b-1,  m),  m=(a+b-1, a-b+1)/2 = a

从而符合条件的排列数为：  C(a+b-1, a-1)  - C(a+b-1, a)  =  (a-b)/(a+b)  * C(a+b, a)