详解鸽巢原理【组合数学】

鸽巢原理的简单形式：
如果要把n+1个物体，放进n个盒子，那么至少有一个盒子包含两个或更多的物体。
证明：用反证法。如果这n个盒子中的每一个都至多含有一个物体，那么物体的最多数量是n。这与我们有n+1个物体的实际情况相矛盾，故不成立。

当然，对于鸽巢原理的简单形式，几乎所有人都可以很轻松的理解。然而，就是这样一个简单的定理，却可以发展出许多我们难以想象的推论。

这里我们分为，鸽巢原理的简单应用，和鸽巢原理的加强版应用进行讨论。

鸽巢原理的简单应用：
应用1.在13个人当中，存在两个人，他们的生日在同一个月份。

鸽巢原理略微复杂的应用：
应用1.一位国际象棋大师有11周的时间备战一场锦标赛，他决定每天至少下一盘棋，但为了不使自己过于疲劳他好决定每周不能下超过12盘棋。证明存在连续若干天，期间这位大师恰好下了21盘棋。

分析：通过表面来看，这个题无非是在11周的77天里找到一个连续的区间，存在这个区间的下棋数正好为21，就可以得到证明。

解：
设a1是第一天下棋的盘数，a2是第一天第二天下棋的总盘数，a3是第一天第二天第三天下棋的总盘数，以此类推。因为每天都要至少下一盘棋，所以a1、a2、a3….是一个严格单调递增的序列。 此外a1>=1，而且任意一周下棋的数量最多是21盘，所以这11个周下棋的总盘数不会超过11*12=132盘。

我们可以写出这样的不等式:

1<=a1<a2<a3...<a77<=132。（共计77天，我们将序列发展到77即可）

那么这个序列每一项加上21 也是严格递增的序列：

21<=a1+21<a2+21<a3+21...<a77+21<=132+21（153）

不难看出 上面两个序列的取值范围 在1~153之间。
时期的事情的就要发生了，上面的两个序列一共出现了154个数字。
他们的取值都在1~153之间。 那么这两个序列必定存在两个数相等。
证毕！

应用2：从整数1、2、3、…200中选出101个整数。证明；在所选的这些整数之间存在两个这样的整数，其中一个可被另一个整除。

分析：无非是找出，存在两个数一个数是另一个数的倍数。显然，暴力枚举不可取。我们要用其他的方法进行验证。

可以稍稍借用快速幂的思想，将每个数化成2^K*a的格式，显然a是奇数。
然而200之内只有100个奇数，那么101个数之中显然存在两个有相同a的数。2
的倍数肯定可以整除，所以肯定存在两个这样的数。
证毕！

当然，关于鸽巢原理的应用还有更多，这里就不一一详解了，给出几个参考方向，有兴趣可以看一下。
中国剩余定理、有理数循环小数、Ramsey定理……