hdu 2255 二分图—最优匹配

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2255

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最优匹配：使二分图的边权和最大的完备匹配。（如果二分图的两个点集不相等可以通过加 ’点‘ 和 ’权值为0的边‘ 实现转化）

相关概念

可行顶标：若L(x)是顶点x对应的顶标值。可行顶标对于图中的每条边(x,y)都有L(x)+L(y)>=w(x,y)

相等子图：只包含L(x)+L(y)=w(x,y)的边的子图

算法流程

设顶点Xi的顶标为a[i]，顶点Yi的顶标为b[i]

ⅰ.初始时，a[i]为与Xi相关联的边的最大权值，b[j]=0，保证a[i]+b[j]>=w(i,j)成立

ⅱ.当相等子图中不包含完备匹配时，就适当修改顶标以扩大相等子图，直到找到完备匹配为止

修改顶标的方法：当从 Xi 开始寻找交错路失败后，得到一棵交错树，对交错树中 X 顶点的顶标减少 d 值， Y 顶点的顶标增加 d 值。

对于图中所有的边 (i,j) 有：

i和j都不在交错树中，边(i,j)仍然不属于相等子图  

i和j都在交错树中，边(i,j)仍然属于相等子图

i不在交错树中，j在交错树中，a[i]+b[j]扩大，边(i,j)不属于相等子图

i在交错树,j不在交错树中,边(i,j)有可能加入到相等子图中

为了使a[i]+b[j]>=w(i,j)始终成立,且至少有一条边加入到相等子图中,d=min{a[i]+b[j]-w(i,j)},其中 i 在交错树中, j 不在交错树中。

由于在算法过程一直保持顶标的可行性，所以任意一个匹配的权值和肯定小于等于所有结点的顶标之和，又因为在扩大相等子图过程中优先加入了权值大大边，所以在相等子图中找到的第一个完备匹配就是最优匹配。

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题目大意：有n个人和n件物品，w[i][j]表示第 i 个人对第 j 件物品的出价，求这些物品能得到的最大价值；

#include<stdio.h>#include<string.h>#define N 305#define Max 1000000int w[N][N],linky[N];  //数组 w 记录边权，数组 linky 记录顶点 y 的匹配；int lx[N],ly[N];       //数组 lx 和 ly 分别记录顶点 x 和 y 的顶标值；int visx[N],visy[N];   //数组 visx 和 visy 分别记录顶点 x 和 y 是否被访问；int n,low;             //low 记录每次顶标需要变化的值；int Find(int x){    int y,t;    visx[x]=1;    for(y=0;y<n;y++){        if(visy[y])continue;        t=lx[x]+ly[y]-w[x][y];        if(t==0){            visy[y]=1;            if(linky[y]==-1||Find(linky[y])){                linky[y]=x;                return 1;            }        }        else{            if(low>t)low=t;        }    }    return 0;}void KM(){    int i,x;    for(x=0;x<n;x++){        while(1){            memset(visx,0,sizeof(visx));            memset(visy,0,sizeof(visy));            low=Max;            if(Find(x))break;            for(i=0;i<n;i++){                if(visx[i])                    lx[i]-=low;                if(visy[i])                    ly[i]+=low;            }        }    }}int main(){    int i,j,sum;    while(scanf("%d",&n)!=EOF){        memset(lx,0,sizeof(lx));        memset(ly,0,sizeof(ly));        memset(linky,-1,sizeof(linky));for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++){scanf("%d",&w[i][j]);if(lx[i]<w[i][j])lx[i]=w[i][j];}}        KM();            for(i=0,sum=0;i<n;i++){            sum+=w[linky[i]][i];        }        printf("%d\n",sum);    }    return 0;}