多元函数极值、Hessian矩阵、正定矩阵
来源:互联网 发布:java模板 编辑:程序博客网 时间:2024/05/22 07:55
这篇笔记,来自我对支持向量机(SVM)算法原理的学习。支持向量机算法最终归结为二次规划问题,研究二次规划问题,必须先从一般的最优化问题开始分析。如无特别声明,本文最优化问题特指寻求目标函数最小值。
一元函数最优化问题,可以简单归结为极值点必须满足下面两个条件:
条件推广:一阶导数为零
二元函数情形,很容易得到第一个条件(1)式的推广形式:
条件推广:二阶导数为正
我们可以认为,沿任意方向
下面我们推导一下,看看有什么结果,
对于所有的
Hessian矩阵
令
其中,矩阵
称为 Hessian 矩阵,如果函数
由前面讨论可知,(7)式表示函数在方向
多元函数极值的判定
如果实值多元函数
记
- 如果
H(x¯) 是正定矩阵,则临界点x¯ 处是一个局部的极小值。 - 如果
H(x¯) 是负定矩阵,则临界点x¯ 处是一个局部的极大值。 - 如果
H(x¯) 是不定矩阵,则临界点x¯ 处不是极值。
正定矩阵的判定
接下来的问题就是如何判断一个矩阵是否为正定矩阵了,这方面参考资料很多,本文不再赘述。
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