NYOJ 214 单调递增子序列(二)

来源：互联网发布：约翰威廉姆斯配乐知乎编辑：程序博客网时间：2024/05/16 20:30

单调递增子序列(二)

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难度：4

描述

给定一整型数列{a₁,a₂...,a_n}（0<n<=100000），找出单调递增最长子序列，并求出其长度。

如：1 9 10 5 11 2 13的最长单调递增子序列是1 9 10 11 13，长度为5。

输入

有多组测试数据（<=7）
每组测试数据的第一行是一个整数n表示序列中共有n个整数，随后的下一行里有n个整数，表示数列中的所有元素.每个整形数中间用空格间隔开（0<n<=100000）。
数据以EOF结束。
输入数据保证合法（全为int型整数）！

输出

对于每组测试数据输出整形数列的最长递增子序列的长度，每个输出占一行。

样例输入

71 9 10 5 11 2 1322 -1

样例输出

    题目的算法还是比较容易看出来的，就是求最长上升子序列的长度。
    不过这一题的数据规模最大可以达到40000，经典的O(n^2)的动态规划算法明显会超时。我们需要寻找更好的方法来解决是最长上升子序列问题。
先回顾经典的O(n^2)的动态规划算法，设A[i]表示序列中的第i个数，F[i]表示从1到i这一段中以i结尾的最长上升子序列的长度，初始时设F[i] = 0(i = 1, 2, ..., len(A))。则有动态规划方程：F[i] = max{1, F[j] + 1} (j = 1, 2, ..., i - 1, 且A[j] < A[i])。
现在，我们仔细考虑计算F[i]时的情况。假设有两个元素A[x]和A[y]，满足
(1)x < y < i (2)A[x] < A[y] < A[i] (3)F[x] = F[y]
此时，选择F[x]和选择F[y]都可以得到同样的F[i]值，那么，在最长上升子序列的这个位置中，应该选择A[x]还是应该选择A[y]呢？
很明显，选择A[x]比选择A[y]要好。因为由于条件(2)，在A[x+1] ... A[i-1]这一段中，如果存在A[z]，A[x] < A[z] < a[y]，则与选择A[y]相比，将会得到更长的上升子序列。
再根据条件(3)，我们会得到一个启示：根据F[]的值进行分类。对于F[]的每一个取值k，我们只需要保留满足F[i] = k的所有A[i]中的最小值。设D[k]记录这个值，即D[k] = min{A[i]} (F[i] = k)。
注意到D[]的两个特点：
(1) D[k]的值是在整个计算过程中是单调不上升的。(2) D[]的值是有序的，即D[1] < D[2] < D[3] < ... < D[n]。
利用D[]，我们可以得到另外一种计算最长上升子序列长度的方法。设当前已经求出的最长上升子序列长度为len。先判断A[i]与D[len]。若A[i] > D[len]，则将A[i]接在D[len]后将得到一个更长的上升子序列，len = len + 1， D[len] = A[i]；否则，在D[1]..D[len]中，找到最大的j，满足D[j] < A[i]。令k = j + 1，则有D[j] < A[i] <= D[k]，将A[i]接在D[j]后将得到一个更长的上升子序列，同时更新D[k] = A[i]。最后，len即为所要求的最长上升子序列的长度。
在上述算法中，若使用朴素的顺序查找在D[1]..D[len]查找，由于共有O(n)个元素需要计算，每次计算时的复杂度是O(n)，则整个算法的时间复杂度为O(n^2)，与原来的算法相比没有任何进步。但是由于D[]的特点(2)，我们在D[]中查找时，可以使用二分查找高效地完成，则整个算法的时间复杂度下降为O(nlogn)，有了非常显著的提高。需要注意的是，D[]在算法结束后记录的并不是一个符合题意的最长上升子序列！
整个算法的难点在于二分查找的设计，需要非常小心注意。

AC代码：

01.#include<stdio.h>
02.int a[100005],dp[100005];
03.int Binarysearch(int x,int len)
04.{
05.int mid,left,right;
06.left=1;
07.right=len;
08.mid=(left+right)/2;
09.while(left<=right)
10.{
11.if(x>dp[mid])
12.left=mid+1;
13.else if(x<dp[mid])
14.right=mid-1;
15.else
16.return mid;
17.mid=(left+right)/2;
18.}
19.return left;
20.}
21.int main()
22.{
23.int n,i,j,len;
24.while(scanf("%d",&n)!=EOF)  //我不知道为什么不加 EOF 会超时
25.{
26.for(i=0;i<n;i++)
27.scanf("%d",&a[i]);
28.dp[1]=a[0];
29.len=1;
30.for(i=1;i<n;i++)
31.{
32.j=Binarysearch(a[i],len);
33.dp[j]=a[i];
34.if(j>len)
35.len=j;
36.}
37.printf("%d\n",len);
38.}
39.return 0;
40.}
41./* len即为所要求的最长上升子序列的长度，但D[]在算法结束后记录的并不是一个符合题意的最长上升子序列*/