【算法题】求数组中子数组的最大乘积

《数学之美》2.13的一道题：

给定一个长度为N的整数数组，只允许用乘法，不能用除法，计算任意（N-1）个数的组合乘积中最大的一组，并写出算法的时间复杂度。 

方法一：

　 　 最容易想到的办法是：把所有可能的（N-1）个数的组合找出来，分别计算它们的乘积，并比较大小。由于总共有N个（N-1）个数的组合，总的时间复杂度为O（N*N），但显然这不是最好的解法。 

方法二：

　 　 假如去掉的元素是a[i]，先计算a[0]...a[i-1]的乘积，再计算a[i+1]...a[N-1]的乘积再相乘即可，为了避免重复的计算乘积，可以先遍历一遍数组求得前i个元素的乘积存入p数组，即：p[i]=Multiply(a[0]...a[i-1])(其中1 <= i <= N，特别的p[0]为1)；再遍历一遍数组求得后N-i个元素的乘积存入q数组，即：q[i]=Multiply(a[i]...a[N-1])(其中0 <= i <N，特别的P[N]为1)，则去掉元素a[i]的乘积res[i]=p[i]*q[i+1]，第三次遍历数组就可以求得最大的乘积。总共只需遍历数组三次，每次遍历的时间复杂度为O(N)，因此总的时间复杂度为O(N)。代码如下：

#include <iostream>#include <assert.h>using namespace std;int MaxProduct(int *arr, size_t len){    assert((arr != NULL) && (len > 0));    int *p = new int[len + 1];    int *q = new int[len + 1];        //p[i] records the multiply product of arr[0] to arr[i-1],    //exceptionally, p[0]=1    p[0] = 1;    for (int i = 1; i <= len; i++)    {p[i] = p[i-1] * arr[i-1];     }    //q[i] records the multiply product of arr[i] to arr[len-1],    //exceptionally, p[len]=1    q[len] = 1;    for (int i = len-1; i >= 0; i--)    {q[i] = q[i+1] * arr[i];     }    int maxRes = 0x80000000;    for (int i = 0; i < len; i++)    {int nTemp = p[i] * q[i+1];if (nTemp > maxRes){    maxRes = nTemp;}    }    return maxRes;}int main(){    int arr[6] = {1, 4, -2, 5, -3, 3};    int res = MaxProduct(arr, 6);    cout << "max product : " << res << endl;    return 0;}

方法三：

　 　 该方法对数组中出现的数和乘积的规律进行了分析，该方法总共只需遍历数组两次，第一次遍历完数组后某些情况可以提前结束，例如数组中0的数目大于1，则结果直接为0，因此该方法效率比方法二要高。原理很简单，不再具体赘述，可以参考《数学之美》中的叙述。代码如下：

#include <iostream>#include <assert.h>using namespace std;int MaxProduct(int *arr, size_t len){    assert((arr != NULL) && (len > 0));    size_t cntZero = 0;//count of zeros    size_t cntNega = 0;//count of negatives    size_t idxMinPosi = 0;//index of min positive value    size_t idxMaxNega = 0;//index of max negative value    size_t idxZero = 0;//index of the only zero    int minPosi = arr[0];    int maxNega = 0x80000000;    for (int i=0; i<len; i++)    {if (arr[i] == 0){    ++cntZero;    idxZero = i;}else if (arr[i] > 0){    if (arr[i] < minPosi)    {minPosi = arr[i];idxMinPosi = i;    }}else{    ++cntNega;    if (arr[i] > maxNega)    {maxNega = arr[i];idxMaxNega = i;    }}    }    size_t nExcepPos = 0;//the pos of exception number    if (cntZero > 1)//more than 1 zero    {return 0;    }    else if (cntZero == 1)// 1 zero    {if (cntNega % 2){    return 0;}else{    nExcepPos = idxZero;}    }    else//no zero    {if (cntNega % 2){    nExcepPos = idxMaxNega;}else{    nExcepPos = idxMinPosi;}    }    int maxRes = 1;    for (int i=0; i<len; i++)    {if (i != nExcepPos){    maxRes *= arr[i];}    }    return maxRes;}int main(){    int arr[6] = {1, -1, -2, 5, -3, 3};    int res = MaxProduct(arr, 6);    cout << "max product : " << res << endl;    return 0;}