除法表达式(数论初步) By ACReaper

这道题目，读了许久，都没明白过来为什么判断表达式的值能否为整数，只要判断E = x1/(x2/x3/....xk) = x1 * x3 * ...*xk / x2是否为整数。后来才明白，其实是这样的，无论你怎么加括号下x2都必然在分母位置，要证明这个可以用数学归纳法去证明，这里不再证明，但你可以试试几个，稍微验证一下。而且其它的数都可以放在分子位置因为我们都可以这样加括号x1/(x2/x3.....xk)。也就是说，如果一个表达式(加括号后)不是x2的倍数，则，这个(加完括号的)表达式值肯定不是整数，而如果一个表达式的值是x2的倍数则，我们一定能把这个表达式写成成x1 * x3 *.....xk/ x2的形式。换句话说，我们只要判断x1 * x3 *.....xk/ x2这个值就可以知道它是不是能写成值为整数的表达式。可能你会疑惑，请注意所有加括号后值能为整数的，必定也能改写为x1 * x3 *.....xk/ x2，这是个充分必要条件！

so为我们可以直接用约分方法来写这道题目

#include <stdio.h>#define MAXN 10001int A[MAXN];int n;int gcd(int a, int b){return b == 0? a : gcd(b, a % b);}int judge(int A[]){A[2] /= gcd(A[2],A[1]);for(int i = 3; i <= n; i++){A[2] /= gcd(A[i],A[2]);}return A[2] == 1;}int main(){while(scanf("%d",&n) != EOF){for(int i = 1; i<= n; i++){scanf("%d",A + i);}if(judge(A)){printf("Yes\n");}else{printf("No\n");}}return 0;}

这里用到了欧几里德算法，别说不知道啊~~~~~~。

还有一个很重要的定理gcd(a,b) * lcm(a,b) = a * b;so我们可以通过gcd求lcm，lcm(a,b) = a / gcd(a,b) * b,这样写是为了防止乘法溢出！