动态规划之——矩阵链乘法

在《算法导论》第二版中，（P197），关于动态规划的算法，这个动态规划解决的是矩阵链乘法的加括号的问题。给定由n个要相乘的矩阵构成的序列，要计算乘积

   

最小的相乘次数。算法与《装配线调度》有一些不同点。每一个状态m[i][j]的值不是仅与前两个有关，而是与1~n的值都有关。所以前面所有的值在求最终的值时都会被用到。算法导论中的矩阵看起来真是难受，这个也是因人而异吧，倒过来的矩阵总是看起来怪怪的，还是自己画原始的图看起来舒服。但是作者的意图是为了让人感受到这里面递归和迭代的过程。

                                           

我们都是先求数组坐标   （0,1）          然后再求：(0,2)          (0,3)         (0,4)       (0,5)

                                         (1,2）                          (1,3)          (1,4)          (1,5)

                                       （2,3）                          (2,4)          (2,5)

                                       （3,4）                          (3,5)

                                       （4,5）

这样可以看出：每个行都是从零开始，每个列都是依次递增。所以这样可以组织代码：

#include "stdafx.h"#include <iostream>using namespace std;int const NUM_MTRIX = 6;      //矩阵的数量void printArray( int arr[], int length ){for ( int i = 0; i < length; ++i ){cout<<arr[i]<<" ";}cout<<endl;}int _tmain(int argc, _TCHAR *argv[]){int P[7] = { 30, 35, 15, 5, 10, 20, 25 };int min[NUM_MTRIX][NUM_MTRIX];for ( int i = 0; i < NUM_MTRIX; ++i ){min[i][i] = 0;  //将对角线元素全部赋值为0}for ( int col = 1; col < NUM_MTRIX; ++ col ){int row = 0;for ( int tmpCol = col; tmpCol < NUM_MTRIX ; tmpCol++ ){min[row][tmpCol] = INT_MAX;            for ( int k = row; k < tmpCol; ++k){int tmpMin = min[row][k] + min[ k +1 ][tmpCol] + P[ row ]* P[ k +1  ]*P[ tmpCol +1 ];if ( tmpMin < min[row][tmpCol] )min[row][tmpCol] = tmpMin;}           ++row;}}cout<<min[0][5]<<endl;}