图的连通性以及割点

来源：互联网发布：智能电视鼠标软件编辑：程序博客网时间：2024/05/18 01:40

首先明白几个定理：

连通分量：无向图 G 的一个极大连通子图称为 G 的一个连通分量（或连通分支）。连通图只有一个连通分量，即其自身；非连通的无向图有多个连通分量。
强连通图：有向图 G=(V,E) 中，若对于V中任意两个不同的顶点 x 和 y ，都存在从x 到 y 以及从 y 到 x 的路径，则称 G 是强连通图(Strongly Connected Graph)。相应地有强连通分量(Strongly Connected Component)的概念。强连通图只有一个强连通分量，即是其自身；非强连通的有向图有多个强连通分量

1. 判断无向图的连通性。

用bfs或者dfs，遍历，如果能遍历完所有结点，则是连通图。

比如，要求无向图的割点的集合，最容易想到的方法就是依次测试每个结点判断其对图连通性的影响。

有更简单的方法。

2. 有向图的单连通性。对于任意的两个点，i,j，存在i到j或者j到i的路径

1. 最容易想到的算法是floyd算法。

floyd算法本来用以求图中任意两点间的最短路径，大体思路是：

依次以每个点k作为i--->j的中间节点，求d(i,j) = min(d(i,j),d(i,k)+d(k,j))

如果用floyd算法判断任意两个点的连通性？

可以直接用上面的算法，但是可以将加法和min操作转为位运算。

d(i,j) = d(i,j) | (d(i,k) & d(k,j))

2. 上面的算法时间复杂度是O(n^3)

http://hi.baidu.com/735612658gfy/item/e2e8c8d3362fa9f2b3f7777b

思路：判断一个有向图是不是强连通的可以直接用tarjan算法。

但是判断是不是单向联通的就麻烦了。

开始我想用floyd，后来又想到了一条路一条路的找，但是这两种方法的复杂度太高。

正解：对于一个DAG图，若是单向联通的我们可以有这么一个性质，就是存在一条路，这条路可以经过图中的每一个点。下面证明一下。

我们从图中选择一个入度为0的点a，和一个出度为0的点b，则剩下的点肯定都满足在a，b之间。

不妨找一点k ，则a~k~b，剩下的点也肯定在两个~之间的一个，以此类推。

我们先让这张图变成DAG，我们用tarjan算法缩点，这张图就变成了一个DAG图。

[cpp] view plaincopy
#include<cstdio>  
#include<iostream>  
#include<cstring>  
#include<stack>  
using namespace std;  
stack<int>s;  
struct hh  
 {  
     int u,v,next;  
 }tp[6005],map[6006];  
 int head[1050],mhead[1050],num,mnum,low[1050],lp[1050],now,f[1050];  
 bool in[1050];  
 int n,m,step,total;  
 void add(int a,int b)  
  {  
      tp[num].u=a;tp[num].v=b;  
      tp[num].next=head[a]; head[a]=num++;  
  }  
  void madd(int a,int b)  
   {  
       map[mnum].u=a; map[mnum].v=b;  
       map[mnum].next=mhead[a]; mhead[a]=mnum++;  
   }  
 void init()  
  {  
      int a,b;  
      num=0; mnum=0;  
      step=total=1;  
      while(!s.empty()) s.pop();  
      for(int i=1;i<=n;i++)  
       {  
           in[i]=0;  
           low[i]=lp[i]=f[i]=0;  
       }  
       memset(head,-1,sizeof(head));  
       memset(mhead,-1,sizeof(mhead));  
      scanf("%d%d",&n,&m);  
      for(int i=0;i<m;i++)  
       {  
           scanf("%d%d",&a,&b);  
           add(a,b);  
       }  
  }  
 void tarjan(int u)  
  {  
      int v;  
      low[u]=lp[u]=step++;  
      s.push(u); in[u]=1;  
      for(int i=head[u];i!=-1;i=tp[i].next)  
       {  
           v=tp[i].v;  
           if(!low[v])  
            {  
                tarjan(v);  
                low[u]=min(low[u],low[v]);  
            }  
            else if(in[v])  
            {  
                low[u]=min(low[u],lp[v]);  
            }  
       }  
       if(low[u]==lp[u])  
        {  
            int haha;  
            while(1)  
             {  
                 haha=s.top(); s.pop();  
                 f[haha]=total; in[haha]=0;  
                 if(haha==u)break;  
             }  
             total++;  
        }  
  }  
  void suodian()  
   {  
       for(int i=0;i<num;i++)  
        {  
            if(f[tp[i].u]!=f[tp[i].v])  
            madd(f[tp[i].u],f[tp[i].v]);  
        }  
   }  
   bool can[1004][1004];  
   int b[1050];  
   bool  dfs(int u,int now)  
   {  
       in[u]=1;  
       if(now==total-1)return true;  
       bool flag=0;  
       for(int i=mhead[u];i!=-1;i=map[i].next)  
        {  
            flag=dfs(map[i].v,now+1);  
            if(flag)return true;  
        }  
        return false ;  
   }  
   void result()  
    {  
       memset(in,0,sizeof(in));  
       for(int i=1;i<=n;i++)  
        {  
            if(!in[i])  
             {  
                 bool flag=dfs(i,1);  
                  {  
                      if(flag)  
                      {cout<<"Yes"<<endl; return ;}  
                  }  
             }  
        }  
        cout<<"No"<<endl;  
    }  
 int main()  
  {  
      int t;  
      scanf("%d",&t);  
      while(t--)  
       {  
           init();  
           for(int i=1;i<=n;i++)  
            if(!low[i])  
             tarjan(i);  
           suodian();//重新建图  
           result();  
       }  
  }  

也可以用上面的算法求出有向图的单连通分支，对入度为0点,递归搜寻各向前通路至每一不可再前行点时，可对应得出一单项连通分支