第九章 图 9.1 图的基本概念

在图形结构中，每个元素可以有零个或多个前驱元素，也可以有零个或多个后继元素，也就是说，元素之间的关系是任意的。

9.1 图的基本概念

9.1.1 图的定义

采用形式化的定义，图(graph)G由两个集合V（vertex）和E（edge）组成，记为G=(V,E),其中V是顶点的有限集合，记为V（G），E是连接V中两个不同顶点(顶点对)的边的有限集合，记为E(G)。

抽象数据类型图的定义如下：

ADT Graph{数据对象:D={ai|1<=i<=n,n>=0,ai属ElemType类型}                                     /*ElemType是C/C++的类型标识符*/          数据关系:    R={<ai,aj>|ai,aj属D,1<=i<=n,1<=j<=n,其中每个元素可以有零个或多个前驱，可以有零个或多个后继}         基本运算:  InitGraph(&g):初始化图：构造一个空图g。  ClearGraph(&g):销毁图：释放图g占用的存储空间。  DFS(&g):深度优先遍历图g。  BFS(g):广度优先遍历图g。}

无向图与有向图

在图G中，如果代表边的顶点对是无序的，则称G为无向图，无向图中代表边的无序顶点对通常用圆括号括起来，用以表示一条无向边。

如果表示边的顶点对是有序的，则称G为有向图，在有向图中代表边的顶点对通常用尖括号括起来，用以表示一条有向边（又称为弧），如<vi,vj>表示从顶点vi到顶点vj的一条弧，顶点vi称为<vi,vj>的尾，顶点vj称为<vi,vj>的头。用由尾指向头的箭头形象地表示一条弧。可见<vi,vj>和<vj,vi>是两条不同的弧。

9.1.2 图的基本术语

1. 端点和邻接点

在一个无向图中，若存在一条边(vi,vj)，则称vi和vj为该边的两个端点，并称它们互为邻接点，即vi是vj的一个邻接点，vj也是vi的一个邻接点。在一个有向图中，若存在一条边<vi,vj>，则称此边是顶点vi的一条出边，同时也是顶点vj的一条入边；称vi和vj分别为此边的起始端点(简称为起点)和终止端点(简称终点);称vi和vj互为邻接点，并称vj是vi的出边邻接点，vi是vj的入边邻接点。

2.顶点的度、入度和出度

在无向图中，顶点所具有的边的数目称为该顶点的度。在有向图中，顶点vi的度又分为入度和出度，以顶点vi为终点的入边的数目，称为该顶点的入度。以顶点vi为起点的出边的数目，称为该顶点的出度。一个顶点的入度和出度的和为该顶点的度。

若一个图中有n个顶点和e条边，每个顶点的度为di（1<=i<=n），则有：

3.完全图

若无向图中的每两个顶点之间都存在着一条边，有向图中的每两个顶点之间都存在着方向相反的两条边，则称此图为完全图。完全无向图包含有n(n-1)/2条边，完全有向图包含有n(n-1)条边。

完全无向图第一个顶点有n-1条不重复边，第n个顶点有0条不重复边，根据等差公式：有n(n-1)/2

完全有向图每个顶点都有n-1条不重复边，所以n(n-1)

4. 稠密图、稀疏图

当一个图接近完全图时，则称为稠密图。相反，当一个图含有较少的边数(即当e<<n(n-1))时，则称为稀疏图。

5.子图

设有两个图G=(V,E)和G’=(V',E'),若V‘是V的子集，即，且E’是E的子集，即，则称G‘是G的子图

6.路径和路径长度

在一个图G=(V,E)中，从顶点vi到顶点vj的一条路径是一个顶点序列(vi,vi1,vi2,...,vim,vj),若此图G是无向图，则边(vi,vi1),(vi1,vi2),...,(vim-1,vim),(vim,vj)属于E(G);若此图是有向图，则<vi,vi1>,<vi1,vi2>,...,<vim-1,vim>,<vim,vj>属于E(G)。路径长度是一条路径上经过的边的数目。若一条路径上除开始点和结束点可以相同外，其余顶点均不相同，则称此路径为简单路径。

7.回路或环

若一条路径上的开始点与结束点为同一个顶点，则此路径被称为回路或环。开始点与结束点相同的简单路径被称为简单回路或简单环。

8.连通、连通图和连通分量

在无向图G中，若从顶点vi到顶点vj有路径，则称vi和vj是连通的。若图G中任意两个顶点都连通，则称G为连通图，否则称为非连通图。无向图G中的极大连通子图称为G的连通分量。任何连通图的连通分量只有一个，即本身，而非连通图有多个连通分量。

9.强连通图和强连通分量

在有向图G中，若从顶点vi到顶点vj有路径，则称从vi到vj是连通的。若图G中的任意两个顶点vi和vj都连通，即从vi到vj和从vj到vi都存在路径，则称图G是强连通图。有向图G中的极大强连通子图称为G的强连通分量。强连通图只有一个强连通分量，即本身，非强连通图有多个强连通分量。

10.关节点和重连通图

假如在删除图中顶点vi以及相关联的各边后，将图的一个连通分量分割成两个或多个连通分量，则称顶点vi为该图的关节点。一个没有关节点的连通图称为重连通图。

11.权和网

图中每一条边都可以附有一个对应的数值，这种与边相关的数值称为权。权可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离或花费的代价。边上带有权的图称为带权图，也称作网。

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