图的基本概念（-）

---------参考书目

1. J.A. Bondy and U.S.R. Murty, Graph Theory with Applications, Elsevier Science Publishing Co. Inc.,1999.
2. 田丰、马仲蕃，图与网络流理论，科学出版社，1987.
3. D.B. West, Introduction to Graph Theory (第二版)， PRENTICE HALL, 2001. 
4. C.H. Papadimitriou and  K. Steiglitz, Combinatorial Optimization: Algorithms and Complexity (第二版), Printice-Hall, 2000.

一、图的基本知识：

 图(graph)G： 是指由非空有限集合V和V中某些元素的无序对的集合E构成的二元组(V,E)，记为G= (V,E)。V称为G的顶点集合(vertex set)，其中的元素称为G的顶点(vertex)。 E称为G的边集(edge set)，其中的元素称为G的边(edge)。如果V={v1,v2 ,··· ,vn}，则E中元素e与V中某两个元素构成的无序对{vi,vj}相对应，记e=vivj或e=vjvi

如下图就表示图G=(V，E)，其中    V={v1, v2 , v3 , v4 ,v5}，E={e1,e2 , ··· , e7},其中e1=v1v2, e2=v1v2, e3=v2v3, e4 =v3v4, e5=v4v5, e6=v5v2, e7=v4v4.

关系R：设V为一个集合,称R是V上的一个关系,如果,这里V×V={(x,y)︱x,y∈V}(此处可以理解为数学中内积的概念)，关系R满足对称性，即：如果(x,y)∈R,有(y,x)∈R

图的阶数：图的顶点数称为图的阶

设G=(V,E)是一个图,若e=vivj∈E,则称顶点vi和vj是相邻的(adjacent),并称vi和vj为边e的端点(end-vertex),也称e与vi,vj是关联的(incident).若e1, e2∈E,且e1和e2有公共的端点,则称e1与e2是相邻的. 

把G中所有与顶点v相邻的顶点的集合称为v的邻域(neighbors),记为NG(v)或简记为N(v).

特别地：两个端点重合的边称为环(loop)；如果有两条边的端点是同一对顶点,则称这两条边为重边(multiple edges)。

图的分类：

简单图：既没有环也没有重边的图

无环图：没有环的图

空图：边集为空的图

非空图：边集不为空即至少有一条边的图

完全图（complete graph）：给定一个图G，称为完全图，如果G中任何两个顶点之间都有一条边相连；如果它有n个顶点,记为Kn

补图：

零图：

二部图(偶图，bipartite graph)：设 G=(V,E)为一个图,其中V=V₁∪V₂,且V₁∩V₂=Ø,对于任意的边e=uv∈E,有或者u∈V₁ ,  v∈V₂  ,或者u∈V₂  ,v∈V₁ ,记为G=(V₁,V₂;E)。

k-部图(k-partirtegraph):设G是一个图,称G为K部图,如果V=V₁∪V₂∪···∪V_K,对任意的边e=uv∈E,有u∈V_i,v∈V_j,(i≠j).