扩展欧几里得（乘法逆元）

百度百科：扩展欧几里得http://baike.baidu.com/link?url=wFOWllqYIDKw1sHLTeJ-MOFHr6RLwP-3RwWroNS5xFpJq-Z3dDj2WcpvyF2dzixgIEM4aRdId3vZsA78w5CkP_

任意整数和0的公约数是该整数的所有约数它们的最大公约数为该整数本身因为0被所有非0整数整除，所以任意非零的整数都是0的约数

欧几里得算法：

单纯求两个数的最大公约数的代码（递归求法）：

下面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0){
        return a;
    }
    else{
        return gcd(b,a%b);
    }
}
int main()
{
    int a,b;
    while(cin>>a>>b)
    {
        cout<<gcd(a,b)<<endl;
    }
    return 0;
}

扩展算法：

一.在已知a, b求解一组x，y，使它们满足贝祖等式： ax+by = gcd(a, b) =d（解一定存在，根据数论中的相关定理）

对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在无数组整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。
（因为当b==0时，y的值是可以任意取的）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int x,y,d;
void extend_Ebuild(int a,int b)
{
    if(b==0){
        x=1;
        y=0;
        d=a;
        return;
    }
    else{
        extend_Ebuild(b,a%b);
        int temp=x;//此时的x,y里面的值是上一步的数据（递归靠下面的数据），现在转换成对应当前gcd(int a,int b)的x,y的值，
        x=y;
        y=temp-(a/b)*y;
    }
}
int main()
{
    int a,b;
    while(cin>>a>>b)
    {
        extend_Ebuild(a,b);
        printf("%d = %d * %d + %d * %d\n",d,a,x,b,y);
    }
    return 0;
}

上面已经列出找一个整数解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后，p * a+q * b = Gcd(a, b)的其他整数解满足：

p = p0 + b/Gcd(a, b) * t

q = q0 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)

二.使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法

对于不定整数方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(a, b)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。即：(p/k)*a+(q/b)*b=c/k,如果c/k==gcd(a,b),则该方程存在整数解，否则不存在整数解。

至于pa+qb=c的整数解，只需将p * a+q * b = Gcd(a, b)的每个解乘上 c/Gcd(a, b) 即可，但是所得解并不是该方程的所有解，找其所有解的方法如下：

在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后，可以

得到p * a+q * b = c的一组解p1 = p0*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0*(c/Gcd(a,b))，p * a+q * b = c的其他整数解满足：

p = p1 + b/Gcd(a, b) * t

q = q1 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)

p 、q就是p * a+q * b = c的所有整数解。