背包（01背包、完全背包、多重背包）问题总结

以前也写过01背包问题的博文，但理解并不深刻，前几天在做HDOJ1059这道题的时候，在网上搜了下，原来背包问题远不止01背包问题那么简单，当然，01背包问题是基础。于是参考了网上非常经典的一篇文章：http://love-oriented.com/pack/#sec5

问题定义：

先看一看比较经典的三个背包问题的问题原型。

 

01背包问题：

         有N个物品和一个容量为V的背包。第i个物品的所占容量为c[i]，价值为w[i]，求解将哪些物品装入背包可使这些物品的总费用不超过背包容量，且使得总价值最大。

 

完全背包问题：

         有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品的数量不限。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[j]，求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且总价值最大。

 

多重背包问题：

         有N种物品和一个容量为V的背包，第i种物品的数量为num[i]，费用是c[i]，价值是w[i]，求解将哪些物品装入背包可使这些物品的总费用不超过背包容量，且使得总价值最大。

 

问题分析

01背包问题

         01背包问题是最基本的背包问题，后面的完全背包问题和多重背包问题其实都可以转化为01背包问题。

         对于01背包问题，其特点是：每一个物品仅有一件，对于每一个物品是否放入相当于一个选择。用子问题定义状态：f[i][v]表示前i件物品放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。于是我们不难得出其状态转移方程：

f[i][v] = max { f[i-1][v] ,f[i-1][v-c[i]] + w[i] }

下图是为了便于理解的一个状态表。

图1 状态表

         这是一个经典的状态转移方程，几乎所有的背包问题都可以转化为这个方程求解。然而，此方法的时间和空间复杂度都是(V*N)的，对于时间复杂度我们已经无法再优化了，但对于空间复杂度却可以优化到O(V)。

         首先考虑上面的状态转移方程是如何实现的，其中必然有一个主循环i=1…N，每次算出二维数组f[i][0…v]的值。那么，如果使用一维数组f[0…V]，在第i次主循环结束后，能否保证f[v]的值就是f[i][v]的值呢？我们可以看到，f[i][v]是f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]+w[i]中较大的值，事实上，只要我们在每次主循环中保证v的值是由V…0的顺序来推导f[v]的，就能保证我们在第i次推导f[v]的时候，f[v-c[i]]的值就等于f[i-1][v-c[i]]。其伪代码如下：

 

for i = 0…N

         forv = V…0

                   f[v]= max { f[v] , f[v-c[i]] + w[i] }

 

事实上：使用一维数组解01背包问题的程序会在后面被多次用到，所以这里抽象出一个处理一件01背包中的物品的函数。

Void ZeroOnePack( cost, weight )

{

         forv=V…cost

                   f[v]= max { f[v], f[v-cost] }

}

所以01背包问题可以这样写：

Void ZeroOnePackProblem()

{

         fori = 1…N

                   ZeroOnePack(c[i], w[i] );

}

 

关于初始化细节的问题：

         对于01背包问题，往往有两种情况：其一、题目要求“恰好装满背包”的最优解；其二、题目不做这样的要求。

         对于第一种情况，我们需将第1次主循环之前的初值f[0]设为0， f[1…V]设为-∞即可。

         对于第二种情况，我们可以将第1次主循环之前的初值f[0…V]设为0就行了。

         解释是这样的：初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可能价值为0的nothing“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，故它们的值设为-∞。如果背包不用“恰好装满，则容量大于0的背包所装的物品也为0也是合法状态，故设置f[0…V]=0。

 

 

完全背包问题

         对于完全背包问题，与01背包问题的是每种物品可以选取无限件，但我们仍然可以用01背包问题的思路来解答：

f[i][v] = max {f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i] | 0<=k*c[i]<=v }

我们这里就将01背包问题的基本思路加以改进就得到了很清晰的解法，这足以说明01背包问题的重要性。当然，我们可以看到这个算法的时间复杂度是超过O(V*N)的。

 

一个简单有效的优化

    完全背包问题有一个很简单有效的优化，是这样的：若两件物品i、j满足c[i]<=c[j]且w[i]>=w[j]，则将物品j去掉，不用考虑。这个优化的正确性显然：任何情况下都可将价值小费用高得j换成物美价廉的i，得到至少不会更差的方案。对于随机生成的数据，这个方法往往会大大减少物品的件数，从而加快速度。然而这个并不能改善最坏情况的复杂度，因为有可能特别设计的数据可以一件物品也去不掉。

    这个优化可以简单的O(N^2)地实现，一般都可以承受。另外，针对背包问题而言，比较不错的一种方法是：首先将费用大于V的物品去掉，然后使用类似计数排序的做法，计算出费用相同的物品中价值最高的是哪个，可以O(V+N)地完成这个优化。

 

转化为01背包问题求解

    既然01背包问题是最基本的背包问题，那么我们可以考虑把完全背包问题转化为01背包问题来解。最简单的想法是，考虑到第i种物品最多选V/c[i]件，于是可以把第i种物品转化为V/c[i]件费用及价值均不变的物品，然后求解这个01背包问题。这样完全没有改进基本思路的时间复杂度，但这毕竟给了我们将完全背包问题转化为01背包问题的思路：将一种物品拆成多件物品。更高效的转化方法是：把第i种物品拆成费用为c[i]*2^k、价值为w[i]*2^k的若干件物品，其中k满足c[i]*2^k<=V。这是二进制的思想，因为不管最优策略选几件第i种物品，总可以表示成若干个2^k件物品的和。这样把每种物品拆成O(log(V/c[i]))件物品，是一个很大的改进。

 

下面是一个更简单的算法，先看伪代码：

for i = 1…N

         forv = 0…V

                   f[v]= max { f[v] , f[v-c[i]]+w[i] }

不难发现，这个代码，与01背包问题的代码差距仅仅是v的赋值顺序不一样。

解释是这样的：在01问题中，v的赋值顺序是V…0，这是因为要保证第i次循环中的状态f[i][v]是由状态f[i-1][v-c[i]]推导而来，也就是说，这是为了保证每件物品只能选一次。而现在的完全背包问题的特点是每种物品可以选择无限件，所以在考虑“加选一件第i中物品“这种策略时，正需要一个可能已选入第i种物品的子结果f[i][v-c[i]]，所以可以且必须采用v = 0…V的顺序循环。

这个算法也可以由以下的状态转移方程得出：

f[i][v] = max { f[i-1][v] ,f[i][v-c[i]]+w[i] }

所以，最后抽象出处理一件完全背包类物品的过程伪代码：

Void CompletePack(cost, weight)

{

         forv = cost…V

                   f[v]= max { f[v], f[v-c[i]] + w[i] }

}

 

 

多重背包问题

         多重背包问题的一个特点是每种物品的数量有限制，为num[i]，但我们可以很容易发现其实多重背包问题与完全背包问题非常类似，因为对于所有的i当num[i]*c[i] > V的时候，其实就是完全背包问题。当然，我们也可以利用一下01背包的思想，得出以下的状态转换方程：

f[i][v] = max { f[i-1][v-k*c[i]] | 0<=k<=num[i] &&k*num[i]<V }

其时间复杂度是O(V*Σn[i))。

         当然，同上面的完全背包问题一样，我们同样可以采用二进制的方式来优化算法的时间复杂度。考虑k=1,2,4…，num[i]，实际上，当k取这些可能值的时候已经包含了1,2,3,4…，num[i]。我们相当于把num[i]件物品分成消耗为2^k*c[i]的若干件物品。这样算法的时间复杂度就减为O(V*Σlog(n[i]))。

         下面是该方法的伪代码：

void MultiplePack(cost, weight, amount)

{

         ifcost*amount >= V

                   CompletePack(cost,weight);

         else

                  k=1;

                   whilek<num

                            ZeroOnePack(k*cost,k*weight);

                           amount-= amount – k;

                            K= k*2;

                   ZeroOnePack(amount * cost , amount*weight);

}