背包问题总结(01背包、完全背包、多重背包)

来源：互联网发布：适合微胖女生的淘宝店编辑：程序博客网时间：2024/04/28 07:48

1、 01背包问题

有n个物品，每个物品只有一件。

动归方程:

(1) 二维数组解法

dp[i][j]=max{dp[i-1][j-w[i]]+v[i] , dp[i-1][j]};

(2) 一维数组解法

dp[j]=max{dp[j-w[i]]+v[i] , dp[j]}

附代码：

HDU 2602 Bone Collector

二维数组：

#include <stdio.h>#include <string.h>int dp[1005][1005];int main(){    int n,T,W;    scanf("%d",&T);    int i,j,w[1005],v[1005];    while(T--)    {        memset(dp,0,sizeof(dp));        scanf("%d %d",&n,&W);        //n件物品，总容量为W        for(i=1;i<=n;i++)            scanf("%d",v+i);        for(i=1;i<=n;i++)            scanf("%d",w+i);        for(i=1;i<=n;i++)        {            for(j=0;j<=W;j++)         //注意，j要从0开始，可能有质量为0的情况            {                if(j>=w[i])                {                    if(dp[i-1][j-w[i]]+v[i]>dp[i-1][j])                        dp[i][j]=dp[i-1][j-w[i]]+v[i];                    else                        dp[i][j]=dp[i-1][j];                }                else                    dp[i][j]=dp[i-1][j];            }        }        printf("%d\n",dp[n][W]);    }    return 0;}

一维数组：

<span style="font-size:12px;">#include <stdio.h>#include <string.h>int dp[1005];int main(){    int n,T,W;    scanf("%d",&T);    int i,j,w[1005],v[1005];    while(T--)    {        memset(dp,0,sizeof(dp));        scanf("%d %d",&n,&W);        //n件物品，总容量为W        for(i=1;i<=n;i++)            scanf("%d",v+i);        for(i=1;i<=n;i++)            scanf("%d",w+i);        for(i=1;i<=n;i++)        {            for(j=W;j>=w[i];j--)         //注意这里的j的取值            {                if(dp[j-w[i]]+v[i]>dp[j])                    dp[j]=dp[j-w[i]]+v[i];            }        }        printf("%d\n",dp[W]);    }    return 0;}</span>

2、完全背包

n种物品，每种物品有无数个

动归方程：

dp[j]=max{dp[j-w[i]] , dp[j]}

虽然完全背包和01背包的动归方程相同，但是在循环时，01背包是j=W....w[i]，完全背包是j=w[i]....W。

（如果不理解，见《背包九讲》，自己遍历下也就懂了）

附代码：

HDU 1114 Piggy-Bank

#include <stdio.h>int dp[50005];int main(){    int T;    int w1,w2,W;    int n,i,j;    int w[10005],v[50005];    scanf("%d",&T);    while(T--)    {        scanf("%d %d %d",&w1,&w2,&n);        W=w2-w1;        for(i=1;i<=n;i++)            scanf("%d %d",v+i,w+i);        dp[0]=0;        for(i=1;i<=W;i++)            dp[i]=1000000;        for(i=1;i<=n;i++)        {            for(j=w[i];j<=W;j++)            {                if(dp[j-w[i]]+v[i]<dp[j])                    dp[j]=dp[j-w[i]]+v[i];            }        }        if(dp[W]==1000000)            printf("This is impossible.\n");        else            printf("The minimum amount of money in the piggy-bank is %d.\n",dp[W]);    }    return 0;}

3、多重背包

n种物品，每种物品有n1,n2,n3....ni个

当n[i]*w[i]>=W，可以看成完全背包。

当n[i]*w[i]<W，便可看成01背包，用二分思想。

（具体见《背包九讲》）

附代码：

HDU 1059 Dividing

<span style="font-size:12px;">#include <stdio.h>#include <string.h>int dp[120005];int n[10],N,W;void CompletePack(int v,int w) //完全背包{    int i;    for(i=w;i<=W;i++)        if(dp[i-w]+v>dp[i])            dp[i]=dp[i-w]+v;}void ZeroOnePack(int v,int w){    int i;    for(i=W;i>=w;i--)        if(dp[i-w]+v>dp[i])            dp[i]=dp[i-w]+v;}int main(){     int i,j;     int index=0;     N=6;     while(scanf("%d %d %d %d %d %d",&n[1],&n[2],&n[3],&n[4],&n[5],&n[6]),n[1]||n[2]||n[3]||n[4]||n[5]||n[6])     {         index++;         W=0;         memset(dp,0,sizeof(dp));         printf("Collection #%d:\n",index);         for(i=1;i<=N;i++)            W+=(n[i]*i);         if(W%2)        {            printf("Can't be divided.\n\n");            continue;        }        W/=2;         for(i=1;i<=N;i++)        {             if(n[i]*i>=W)                CompletePack(i,i);             else             {                 for(j=1;j<n[i];j=j*2)                 {                     ZeroOnePack(i*j,i*j);                     n[i]-=j;                 }                 ZeroOnePack(n[i]*i,n[i]*i);             }        }        if(dp[W]==W)            printf("Can be divided.\n");        else            printf("Can't be divided.\n");        putchar('\n');     }    return 0;}</span>

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