经典背包问题 01背包+完全背包+多重背包

转载来源 http://blog.csdn.net/lyhvoyage/article/details/8545852

01 背包

有n 种不同的物品，每个物品有两个属性，size 体积，value 价值，现在给一个容量为 w 的背包，问最多可带走多少价值的物品。  

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1. int f[w+1];   //f[x] 表示背包容量为x 时的最大价值  
2. for (int i=0; i<n; i++)  
3.     for (int j=w; j>=size[i]; j--)  
4.         f[j] = max(f[j], f[j-size[i]]+value[i]);  

完全背包 

如果物品不计件数，就是每个物品不只一件的话，稍微改下即可  

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1. for (int i=0; i<n; i++)  
2.     for (int j=size[i]; j<=w; j++)  
3.         f[j] = max(f[j], f[j-size[i]]+value[i]);  

  
        f[w] 即为所求  
        初始化分两种情况：
        1、如果背包要求正好装满则初始化 f[0] = 0, f[1~w] = -INF;  

        2、如果不需要正好装满 f[0~v] = 0;  

        举例：

01背包

V=10，N=3，c[]={3,4,5}, w={4,5,6}

（1）背包不一定装满

      计算顺序是：从右往左，自上而下：因为每个物品只能放一次，前面的体积小的会影响体积大的

（2）背包刚好装满    

      计算顺序是：从右往左，自上而下。注意初始值，其中-inf表示负无穷

完全背包：

V=10，N=3，c[]={3,4,5}, w={4,5,6}

（1）背包不一定装满

计算顺序是：从左往右，自上而下：  每个物品可以放多次，前面的会影响后面的

（2）背包刚好装满

计算顺序是：从左往右，自上而下。注意初始值，其中-inf表示负无穷

多重背包：  
         多重背包问题要求很简单，就是每件物品给出确定的件数，求可得到的最大价值  
         多重背包转换成 01 背包问题就是多了个初始化，把它的件数C 用二进制分解成若干个件数的集合，这里面数字可以组合成任意小于等于C的件数，而且不会重复，之所以叫二进制分解，是因为这样分解可以用数字的二进制形式来解释  
       比如：7的二进制 7 = 111 它可以分解成 001 010 100 这三个数可以组合成任意小于等于7 的数，而且每种组合都会得到不同的数  
       15 = 1111 可分解成 0001  0010  0100  1000 四个数字  
        如果13 = 1101 则分解为 0001 0010 0100 0110 前三个数字可以组合成  7以内任意一个数，即1、2、4可以组合为1——7内所有的数，加上 0110 = 6 可以组合成任意一个大于6 小于等于13的数，比如12，可以让前面贡献6且后面也贡献6就行了。虽然有重复但总是能把 13 以内所有的数都考虑到了，基于这种思想去把多件物品转换为，多种一件物品，就可用01 背包求解了。  
       看代码：  
      

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1. int n;  //输入有多少种物品  
2. int c;  //每种物品有多少件  
3. int v;  //每种物品的价值  
4. int s;  //每种物品的尺寸  
5. int count = 0; //分解后可得到多少种物品  
6. int value[MAX]; //用来保存分解后的物品价值  
7. int size[MAX];  //用来保存分解后物品体积  
8.   
9. scanf("%d", &n);    //先输入有多少种物品，接下来对每种物品进行分解  
10.   
11. while (n--)     //接下来输入n中这个物品  
12. {  
13.     scanf("%d%d%d", &c, &s, &v);  //输入每种物品的数目和价值  
14.     for (int k=1; k<=c; k<<=1)   //<<右移 相当于乘二  
15.     {  
16.         value[count] = k*v;  
17.         size[count++] = k*s;  
18.         c -= k;  
19.     }  
20.     if (c > 0)  
21.     {  
22.         value[count] = c*v;  
23.         size[count++] = c*s;  
24.     }  
25. }  

定理：一个正整数n可以被分解成1,2,4,…,2^(k-1),n-2^k+1（k是满足n-2^k+1>0的最大整数）的形式，且1～n之内的所有整数均可以唯一表示成1,2,4,…,2^(k-1),n-2^k+1中某几个数的和的形式。

证明如下：

（1） 数列1,2,4,…,2^(k-1),n-2^k+1中所有元素的和为n，所以若干元素的和的范围为：[1, n]；

（2）如果正整数t<= 2^k – 1,则t一定能用1,2,4,…,2^(k-1)中某几个数的和表示，这个很容易证明：我们把t的二进制表示写出来，很明显，t可以表示成n=a0*2^0+a1*2^1+…+ak*2^（k-1），其中ak=0或者1，表示t的第ak位二进制数为0或者1.

（3）如果t>=2^k,设s=n-2^k+1，则t-s<=2^k-1，因而t-s可以表示成1,2,4,…,2^(k-1)中某几个数的和的形式，进而t可以表示成1,2,4,…,2^(k-1)，s中某几个数的和（加数中一定含有s）的形式。

（证毕！）

      

        现在用count 代替 n 就和01 背包问题完全一样了  

杭电2191题解：此为多重背包用01和完全背包：

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1. #include<stdio.h>  
2. #include<string.h>  
3. int dp[102];  
4. int p[102],h[102],c[102];  
5. int n,m;  
6. void comback(int v,int w)//经费，重量。完全背包；  
7. {  
8.     for(int i=v; i<=n; i++)  
9.         if(dp[i]<dp[i-v]+w)  
10.             dp[i]=dp[i-v]+w;  
11. }  
12. void oneback(int v,int w)//经费，重量；01背包；  
13. {  
14.     for(int i=n; i>=v; i--)  
15.         if(dp[i]<dp[i-v]+w)  
16.             dp[i]=dp[i-v]+w;  
17. }  
18. int main()  
19. {  
20.     int ncase,i,j,k;  
21.     scanf("%d",&ncase);  
22.     while(ncase--)  
23.     {  
24.         memset(dp,0,sizeof(dp));  
25.         scanf("%d%d",&n,&m);//经费，种类；  
26.         for(i=1; i<=m; i++)  
27.         {  
28.             scanf("%d%d%d",&p[i],&h[i],&c[i]);//价值，重量，数量;  
29.             if(p[i]*c[i]>=n) comback(p[i],h[i]);  
30.             else  
31.             {  
32.                 for(j=1; j<c[i]; j<<1)  
33.                 {  
34.                     oneback(j*p[i],j*h[i]);  
35.                     c[i]=c[i]-j;  
36.                 }  
37.                 oneback(p[i]*c[i],h[i]*c[i]);  
38.             }  
39.         }  
40.         printf("%d\n",dp[n]);  
41.     }  
42.     return 0;  
43. }  

完全背包另外一种写法

int max(int a,int b){if(a>b)return a;return b;}void onepack(int v,int w,int lim){int i;for(i=lim;i>=v;i--){dp[i]=max(dp[i],dp[i-v]+w);}}void com(int v,int w,int lim){int i;for(i=v;i<=lim;i++){dp[i]=max(dp[i],dp[i-v]+w);}}void multi(int v,int w,int lim,int num){int i,j;if(num*v>=lim)com(v,w,lim);else{for(j=1;j<num;j<<=1){onepack(j*v,j*w,lim);num-=j;}onepack(num*v,num*w,lim);}}

只是用01背包，用二进制优化：

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1. #include <iostream>  
2. using namespace std;  
3. int main()  
4. {  
5.     int nCase,Limit,nKind,i,j,k,  v[111],w[111],c[111],dp[111];  
6.     //v[]存价值，w[]存尺寸，c[]存件数  
7.     //在本题中，价值是米的重量，尺寸是米的价格  
8.     int count,Value[1111],size[1111];  
9.     //count存储分解完后的物品总数  
10.     //Value存储分解完后每件物品的价值  
11.     //size存储分解完后每件物品的尺寸  
12.     cin>>nCase;  
13.     while(nCase--)  
14.     {  
15.         count=0;  
16.         cin>>Limit>>nKind;  
17.         for(i=0; i<nKind; i++)  
18.         {  
19.             cin>>w[i]>>v[i]>>c[i];  
20.             //对该种类的c[i]件物品进行二进制分解  
21.             for(j=1; j<=c[i]; j<<=1)  
22.             {  
23.                 //<<右移1位，相当于乘2  
24.                 Value[count]=j*v[i];  
25.                 size[count++]=j*w[i];  
26.                 c[i]-=j;  
27.             }  
28.             if(c[i]>0)  
29.             {  
30.                 Value[count]=c[i]*v[i];  
31.                 size[count++]=c[i]*w[i];  
32.             }  
33.         }  
34.         //经过上面对每一种物品的分解，  
35.         //现在Value[]存的就是分解后的物品价值  
36.         //size[]存的就是分解后的物品尺寸  
37.         //count就相当于原来的n  
38.         //下面就直接用01背包算法来解  
39.         memset(dp,0,sizeof(dp));  
40.         for(i=0; i<count; i++)  
41.             for(j=Limit; j>=size[i]; j--)  
42.                 if(dp[j]<dp[j-size[i]]+Value[i])  
43.                     dp[j]=dp[j-size[i]]+Value[i];  
44.   
45.         cout<<dp[Limit]<<endl;  
46.     }  
47.     return 0;  
48. }