离散傅里叶变换的学习与思考

谁是傅里叶？

Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830)，一个法国的数学家、物理学家

傅里叶认为：任何连续周期信号都可以由一组适当的正弦曲线组合而成。

拉格朗日认为：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号(如垂直的方波中非连续变化的斜率)。

傅里叶认为：可以用正弦曲线来非常逼近地表示它（带棱角的信号），逼近到两种表示方法不存在能量差别。

为什么需要傅里叶变换？

个人认为：它首先是一种描述性的工具，把用多个不同的正弦波来描述（逼近）一个函数曲线变成了可能

1. 为了把信号从时域转变成频域来进行分析(物理意义)

2. 为了用多个正弦波叠加来模拟函数曲线 (几何意义、数学意义)

3. 这是一种化繁为简的方式，将看似没有规律的复杂事物用有规律的东西进行表达

什么是时域？

y=F(t)，x坐标是t，y坐标是结果值。按采样时间来分类来描述一件事

什么是频域？

y=F(f)，x坐标是f，y坐标是结果值。按分解频率来分类来描述一件事

傅里叶变换是什么东西？

概念理解：

映射：多个入参 → 一个输出，一个入参 → 一个输出，但是不能是一个入参 → 多个输出

变换：一种数据的转换形式，把一堆数据变成另外一堆数据，可以是 一个入参 → 多个输出

什么是离散傅里叶变换？

DFT(Discrete Fourier Transform)

为了计算机能够计算，特点：离散性、周期性、有限长度

什么是逆傅里叶变换？

IFT(Inverse Fourier Transform)

傅里叶变换的反操作，即给定一组傅里叶变换的数据，可以重建得到原始数据。

什么是快速傅里叶变换？

FFT(Fast  Fourier Transform)

一种更快地计算傅里叶变换的方法，得到的结果和傅里叶变换完全相同，其本身并不是一种新的或不同的变换[Cooley,1965]。当然也分为正向和逆向变换。

如果用传统的算法进行离散傅里叶变换，速度相对较慢，时间复杂度为O(n*n)，若采用FFT，时间复杂度为O(n*logn)。

FFT使得离散傅立叶变换的计算量减少了几个数量级，使计算机实现实时处理成为可能。

快速傅里叶变换的改进点？

1. 编程技巧(例如在循环外部提前计算一些值)

2. 数学技巧

(可以参考wiki：http://zh.wikipedia.org/zh-cn/快速傅里叶变换

或文献：Bracewell, 1965; Brigham, 1974)

一维的傅里叶变换：

入参：一维数组，长度为N，[0]离散的函数曲线描点的y值

出参：二维数组，长度为N，[0]实部，[1]虚部

做傅里叶变换时，实部虚部幅值为什么和采样频率有关呢？

z = a + bi

z[n] = a[n]+b[n]i

复数和正弦函数的关系：

z = a + bi = r(cosθ + isinθ)
r = sqrt(a*a + b*b)
cosθ = a/r
sinθ = b/r

θ = atan2(b,a)

定义：
n: 第n个采样点索引(从1开始)
N: 为采样点总个数
Fs: 采样频率(hz)


香农采样定理：
为了不失真地恢复模拟信号，采样频率应该不小于模拟信号频谱中最高频率的2倍。
Fs≥2*Fmax，采样率的提高要求转换电路必须具有更快的转换速度。


根据香农采样定理，所以Fs = 2 * F (hz)，或 Fs = 2 * F + 1 (hz)

傅里叶变换后得到的复数的物理意义？

由得到的复数可以推到出正弦函数的振幅、频率、相位等参数，这样就可以达到用正弦函数来近似描述曲线的目的。

振幅：A[n] = sqrt(a*a + b*b) / (n/2)
频率：F[n] = (n-1)*Fs/N
相位：P[n] = atan2(b, a)   (单位弧度)

参考资料：

理解离散傅立叶变换（一. 傅立叶变换的由来）

http://blog.csdn.net/dznlong/article/details/2261150

FFT结果的物理意义

http://bbs.ednchina.com/BLOG_ARTICLE_182751.HTM

下面是我使用OpenCV做的一个离散傅里叶变换的测试：

void test_dft1(){int i,j;CvScalar s, s1;double p;CvMat* a;a = cvCreateMat(1024, 1, CV_32FC2); // 32bit F浮点数 2表示复数const double PI = 3.1415926535897932385;for(int i=0; i<1024; i++){s.val[0] = 2.0 * sin(2.0* PI * i / 128.0) + 5.0;s.val[1] = 0.0;cvSet1D(a, i, s);}cvDFT(a, a, CV_DXT_FORWARD, 0);for(int i=0; i<1024; i++){s = cvGet1D(a, i);printf("[%d] a=%10f, b=%10f\n",i, s.val[0], s.val[1]);}double ret = atan2(-1024, 0.0);double angle = ret / PI * 180;//等待按键事件cvWaitKey();}

使用FFT获得的数据：

[0] a=5120.000000, b=  0.000000[1] a=  0.000000, b=  0.000000[2] a=  0.000000, b=  0.000000[3] a=  0.000000, b=  0.000000[4] a=  0.000000, b=  0.000000[5] a=  0.000000, b=  0.000000[6] a=  0.000000, b=  0.000000[7] a=  0.000000, b=  0.000000[8] a=  0.000000, b=-1024.000000[9] a=  0.000000, b=  0.000000[10] a=  0.000000, b=  0.000000[11] a=  0.000000, b=  0.000000[12] a=  0.000000, b=  0.000000[13] a=  0.000000, b=  0.000000[14] a=  0.000000, b=  0.000000[15] a=  0.000000, b=  0.000000[16] a=  0.000000, b=  0.000000[17] a=  0.000000, b=  0.000000[18] a=  0.000000, b=  0.000000[19] a=  0.000000, b=  0.000000[20] a=  0.000000, b=  0.000000[21] a=  0.000000, b=  0.000000[22] a=  0.000000, b=  0.000000[23] a=  0.000000, b=  0.000000[24] a=  0.000006, b=  0.000020[25] a=  0.000000, b=  0.000000[26] a=  0.000000, b=  0.000000[27] a=  0.000000, b=  0.000000[28] a=  0.000000, b=  0.000000[29] a=  0.000000, b=  0.000000[30] a=  0.000000, b=  0.000000[31] a=  0.000000, b=  0.000000[32] a=  0.000000, b=  0.000000[33] a=  0.000000, b=  0.000000[34] a=  0.000000, b=  0.000000[35] a=  0.000000, b=  0.000000[36] a=  0.000000, b=  0.000000[37] a=  0.000000, b=  0.000000[38] a=  0.000000, b=  0.000000[39] a=  0.000000, b=  0.000000[40] a= -0.000003, b=  0.000009[41] a=  0.000000, b=  0.000000[42] a=  0.000000, b=  0.000000[43] a=  0.000000, b=  0.000000[44] a=  0.000000, b=  0.000000[45] a=  0.000000, b=  0.000000[46] a=  0.000000, b=  0.000000[47] a=  0.000000, b=  0.000000[48] a=  0.000000, b=  0.000000[49] a=  0.000000, b=  0.000000[50] a=  0.000000, b=  0.000000[51] a=  0.000000, b=  0.000000[52] a=  0.000000, b=  0.000000[53] a=  0.000000, b=  0.000000[54] a=  0.000000, b=  0.000000[55] a=  0.000000, b=  0.000000[56] a= -0.000003, b= -0.000007[57] a=  0.000000, b=  0.000000[58] a=  0.000000, b=  0.000000[59] a=  0.000000, b=  0.000000[60] a=  0.000000, b=  0.000000[61] a=  0.000000, b=  0.000000[62] a=  0.000000, b=  0.000000[63] a=  0.000000, b=  0.000000[64] a=  0.000000, b=  0.000000[65] a=  0.000000, b=  0.000000[66] a=  0.000000, b=  0.000000[67] a=  0.000000, b=  0.000000[68] a=  0.000000, b=  0.000000[69] a=  0.000000, b=  0.000000[70] a=  0.000000, b=  0.000000[71] a=  0.000000, b=  0.000000[72] a= -0.000002, b= -0.000016[73] a=  0.000000, b=  0.000000[74] a=  0.000000, b=  0.000000[75] a=  0.000000, b=  0.000000[76] a=  0.000000, b=  0.000000[77] a=  0.000000, b=  0.000000[78] a=  0.000000, b=  0.000000[79] a=  0.000000, b=  0.000000[80] a=  0.000000, b=  0.000000[81] a=  0.000000, b=  0.000000[82] a=  0.000000, b=  0.000000[83] a=  0.000000, b=  0.000000[84] a=  0.000000, b=  0.000000[85] a=  0.000000, b=  0.000000[86] a=  0.000000, b=  0.000000[87] a=  0.000000, b=  0.000000[88] a=  0.000001, b=  0.000004[89] a=  0.000000, b=  0.000000[90] a=  0.000000, b=  0.000000[91] a=  0.000000, b=  0.000000[92] a=  0.000000, b=  0.000000[93] a=  0.000000, b=  0.000000[94] a=  0.000000, b=  0.000000[95] a=  0.000000, b=  0.000000[96] a=  0.000000, b=  0.000000[97] a=  0.000000, b=  0.000000[98] a=  0.000000, b=  0.000000[99] a=  0.000000, b=  0.000000[100] a=  0.000000, b=  0.000000[101] a=  0.000000, b=  0.000000[102] a=  0.000000, b=  0.000000[103] a=  0.000000, b=  0.000000[104] a= -0.000003, b= -0.000007[105] a=  0.000000, b=  0.000000[106] a=  0.000000, b=  0.000000[107] a=  0.000000, b=  0.000000[108] a=  0.000000, b=  0.000000[109] a=  0.000000, b=  0.000000[110] a=  0.000000, b=  0.000000[111] a=  0.000000, b=  0.000000[112] a=  0.000000, b=  0.000000[113] a=  0.000000, b=  0.000000[114] a=  0.000000, b=  0.000000[115] a=  0.000000, b=  0.000000[116] a=  0.000000, b=  0.000000[117] a=  0.000000, b=  0.000000[118] a=  0.000000, b=  0.000000[119] a=  0.000000, b=  0.000000[120] a=  0.000004, b= -0.000014[121] a=  0.000000, b=  0.000000[122] a=  0.000000, b=  0.000000[123] a=  0.000000, b=  0.000000[124] a=  0.000000, b=  0.000000[125] a=  0.000000, b=  0.000000[126] a=  0.000000, b=  0.000000[127] a=  0.000000, b=  0.000000[128] a=  0.000000, b=  0.000000[129] a=  0.000000, b=  0.000000[130] a=  0.000000, b=  0.000000[131] a=  0.000000, b=  0.000000[132] a=  0.000000, b=  0.000000[133] a=  0.000000, b=  0.000000[134] a=  0.000000, b=  0.000000[135] a=  0.000000, b=  0.000000[136] a= -0.000002, b= -0.000003[137] a=  0.000000, b=  0.000000[138] a=  0.000000, b=  0.000000[139] a=  0.000000, b=  0.000000[140] a=  0.000000, b=  0.000000[141] a=  0.000000, b=  0.000000[142] a=  0.000000, b=  0.000000[143] a=  0.000000, b=  0.000000[144] a=  0.000000, b=  0.000000[145] a=  0.000000, b=  0.000000[146] a=  0.000000, b=  0.000000[147] a=  0.000000, b=  0.000000[148] a=  0.000000, b=  0.000000[149] a=  0.000000, b=  0.000000[150] a=  0.000000, b=  0.000000[151] a=  0.000000, b=  0.000000[152] a=  0.000002, b= -0.000008[153] a=  0.000000, b=  0.000000[154] a=  0.000000, b=  0.000000[155] a=  0.000000, b=  0.000000[156] a=  0.000000, b=  0.000000[157] a=  0.000000, b=  0.000000[158] a=  0.000000, b=  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结果分析：[0] a=5120.000000, b=  0.000000[8] a=  0.000000, b=-1024.000000s.val[0] = 2.0 * sin(2.0* PI * i / 128.0) + 5.0;A = 2.0;F = 1.0 / 128P = 0;(余弦) -> P2 = -90°(正弦)---------------------------------------取结果的一半：从0~N/2 (对称性)直流分量：a[0] / N = 5120/1024 = 5.0Fs = 1 (1hz)Fs[n] = (n+1)*1;A[8] = sqrt(0*0 + 1024*1024) / (N/2) = 1024 / (1024/2) = 2F[8] = (9-1)*1/1024 = 8 / 1024 = 1/128P[8] = atan2(1024,0) = -90°所以，原式为：y = 5.0 + 2.0 * sin(2.0* PI * x / 128.0) 

课外阅读拓展：

斯坦福大学公开课：傅里叶变换及其应用

http://v.163.com/special/opencourse/fouriertransforms.html