最大子数组和算法的思考

如果之前没有看过最大子数组和的解法思想，这一问题很能体现算法的设计能力。当然，算法是两面性的，越简单的效率越低，效率高的算法往往易错和更难理解。本文简单针对此例说说对算法设计的一些感悟

首先是问题定义：给定一个一维数组，其中包含一些负数，求其中任意连续子数组之和的最大值

首先是最基本最简单的思想：求和嘛，就是把所有的和都求出来，然后比较取其中的最大值就好了

maxsofar = 0for i = [0,n)  for j = [i,n)    sum = 0    for k = [i,j]      sum += x[k]      maxsofar = max(maxsofar,sum)

跑完这个三重循环，maxsofar的值便是所求最大值。显然这一算法的效率非常低（O(n³)），而且因为x[i...j+1]的和实际上是x[i...j]+x[j+1]，而前者已经在上次计算中算得了，所以很容易想到避免重复计算的优化，将算法的时间复杂度降低一阶，如下

maxsofar = 0for i = [0,n)  sum = 0  for j = [i,n)    sum += x[j]    maxsofar = max(maxsofar,sum)

或者用另外一种方式，使用一个临时数组保存计算出的x[0...i]的和，这样任意的子数组x[i...j]的和都可以用x[0...j]-x[0...i-1]表示，依次比较即可（算法略），O(n²)

也许到这一步，很多人都已经满足了，或者说，想不出更好的优化方式了。其实不然，算法优化总是有无尽的神秘，总会有更优的方式（应用一些高级算法思想）

当规模比较大时，一般用到的就是分治法，即将问题分成近似相等的两部分，分开解决，最后合并解的结果

于是，我们可以把这个数组从中间分成两个部分，设为a和b，然后，分别计算a中的最大值和b中的最大值，最后结果再取一次最大值，是这样吗？

想想，如果这个最大数组c恰好在a,b之间，即左半部分在a右边界，右半部分在b左边界呢？

so，现在只要找到计算数组c的方法，以及定义边界取值情况（问题是基于左右下标的），算法就可以写出来了。计算数组c的思想在前一算法中已有体现，从中间元素开始，分别向左，向右找到最大的子序列和。然后求它们的和。因为这个子序列是“特殊的”一端固定，所以只需要O(n)时间计算得出

算法设计如下，使用递归方式：

float maxsum(l,r)  if(l>r) return 0  if(l=r) return max(0,x[l])  m = (l+r) /2  lmax = sum = 0  for(i=m;i>=l;i--)    sum += x[i]    lmax = max(lmax,sum)  rmax = sum = 0    for(i=m;i<=r;i++)    sum += x[i]    rmax = max(rmax,sum)  return max(lmax+rmax,maxsum(l,m),maxsum(m+1,r))

这样只要调用一次maxsum(0,n-1)就可以得到结果。也许有人会疑问这样的算法复杂度是不是反而增加了？T(n) = 2T(n/2) + O(n) = O(nlogn)，一般来说，只要额外开销不大，分治法都可以达到这样的效率。这种方式虽然好，但是在边界细节上不处理正确，程序就会跑错。

is that enough good？

其实算法设计也有一定的规律，也就是越通用的算法，应用于特定问题往往效率一般。而针对问题专门设计的算法，虽然丧失了通用性，却能得到很好的效果。来看下面的分析：

这个问题中定义子数组必然是连续的，那么我们用一个长度可变的“扫描器”，把这个数组从头到尾扫描一遍，是不是一定可以扫描到这个最大子数组呢？

显然是可以的。问题的关键就是“扫描器”的长度如何伸缩，是否舍弃了不必要的检测。 打个有趣的比方，有一只虫子，当它吃了正数就会变长，吃了负数就会缩短，于是我们可以让它爬过这个数组，同时保持纪录它成长过程中的最大值，当它爬到终点，不管最后实际长度是怎样的，我们总会纪录到这个最大值。

算法的核心在于负数的处理。试想，当它吃了一个小负数后又吃了一个较大的正数，总长度增加了，需要继续保持纪录。而一旦它遇到很大的负数，该怎么做？

虫子是不会变成负长度的，而我们也没必要留着这个负值，因为后面无论遇到什么样的数，都会“拖低”最大值的计算。所以，果断放弃，让虫子重生为0吧！

这样，我们就有了特有的线性算法：

maxsofar = 0maxendinghere = 0for i = [0,n)  maxendinghere = max(maxendinghere+x[i],0)  maxsofar = max(maxsofar,maxendinghere)

maxendinghere即所说虫子的长度，舍弃负值为新的开始。最终只需要线性扫描一遍即完成算法

（关于算法复杂度所带来的影响，本文不涉及讨论）

结束语:

任何事物都有两面性，算法更是如此。简单易懂的算法容易修改维护，但是执行效率低。常规高级算法（姑且这样叫分治，回溯等思想把）有很多需注意的细节之处，需要多多实践运用才能驾轻就熟，高效运行。而特定算法往往需要非常透彻的分析+经验铺垫后的灵光一现，达到非常简单而意想不到的效果

有时候把算法和生活中的相关例子联系起来想，也是蛮有趣的^_^

（阅读编程珠玑column 8所感，代码均来自原书，思想自创）