MillerRobin(概率测素数)

学习知识，是一个很享受的过程。

尤其是那些自己以前听没听过，但是却又是非常神奇的一种思想的时候。

今天上午学习了，快速概率测素数的算法------MillerRobin（），适用于测试单个素数，出错概率比计算机本身出错的概率还要低

为（1/4）^(s)，一般s取50就可以认为是准确测试出了。

算法是基于费马小定理（format），二次探测定理（x*x % p == 1 ，若P为素数，则x的解只能是x = 1或者x = p - 1）加上迭代乘法判断的Miller算法

共同构成的。我觉得我要讲起来证明必然会贻笑大方。看下面别人给出的证明及思想吧。

费尔马小定理:如果p是一个素数,且0<a<p,则a^(p-1)%p=1.
            利用费尔马小定理,对于给定的整数n,可以设计素数判定算法,通过 计算d=a^(n-1)%n来判断n的素性,当d!=1时,n肯定不是素数,当d=1时,n   很可能是素数.

 

二次探测定理:如果p是一个素数,且0<x<p,则方程x^2%p=1的解为:x=1或    x=p-1.
            利用二次探测定理,可以再利用费尔马小定理计算a^(n-1)%n的过程 中增加对整数n的二次探测,一旦发现违背二次探测条件,即得出n不是素数的结论.
    
    如果n是素数,则(n-1)必是偶数,因此可令(n-1)=m*(2^q),其中m是正奇数( 若n是偶数,则上面的m*(2^q)一定可以分解成一个正奇数乘以2的k次方的形式 ),q是非负整数,考察下面的测试:
    序列:
         a^m%n; a^(2m)%n; a^(4m)%n; …… ;a^(m*2^q)%n
    把上述测试序列叫做Miller测试,关于Miller测试,有下面的定理:

定理:若n是素数,a是小于n的正整数,则n对以a为基的Miller测试,结果为真.
Miller测试进行k次,将合数当成素数处理的错误概率最多不会超过4^(-k).

我只给出我的代码，我觉得我的还是比较简洁的，呵呵，如果有不足，请指出，共同进步，谢谢 0.-！

#include <stdio.h>#include <string.h>#include <time.h>#include <iostream>#include <string>using namespace std;int N;int witness(int a, int n)//随机生成的a,来检测n的素性 {int ans = 1;int t = n - 1;//这里需要注意,你如果没有改变乘方的次数的话,最后的判断就是(ans == a) ? 0 : 1; // 并且还要另外开辟空间来存储开始的a,比较麻烦,所以就这样了; int x;while (t){if (t & 1){ans = (long long int)ans * a % n;}x = a;//从这里开始就是迭代乘法,验证二次验证定理 a = (long long int)a * a % n;//这里就相当于 x*x % m = 1 if (a == 1 && x != 1 && x != (n - 1)){return 1; // 这里需要注意,返回一的话就说明,追踪过程中,出现了不是素数的依据. }t >>= 1;}return (ans == 1) ? 0 : 1;}int MillerRobin(int n, int s) // 一般s取50就可以避免所有的偶然性了. {if (n == 2){return 1;}if (n < 2 || !(n & 1)){return 0;}int a;for (int i = 0; i < s; i++){a = (long long int )rand() * (n - 2) / RAND_MAX + 1; //这样生成的随机数就是真正的随机数了 if (witness(a, n)){return 0;} }return 1;}int main(){while (scanf("%d", &N) != EOF){if (N == 0){break;}if (MillerRobin(N, 50)){printf("%d is a prime!\n", N);}else{printf("%d is not a prime!\n", N);}}//system("pause");return 0;}