判断单链表中是否存在环及查找环的入口点

判断单链表中是否存在环及查找环的入口点

问题1：如何判断单链表中是否存在环（即上图中从结点E到结点R组成的环）？
解答：
         设一快一慢两个指针（实际上是两个迭代器，Node *fast, *low）同时从链表起点开始遍历，其中快指针每次移动长度为2，慢指针则为1。则若无环，开始遍历之后fast不可能与low重合，且fast或fast->next最终必然到达NULL；若有环，则fast必然不迟于low先进入环，且由于fast移动步长为2，low移动步长为1，则在low进入环后继续绕环遍历一周之前，fast必然能与low重合（至于原因，会在后面再作单独分析）。于是函数可写如下：
// 若有环，encounter是fast与low重合的地方
bool hasCircle(Node* head, Node* &encounter)
{
         Node *fast = head, *low = head;
         while(fast && fast->next)
        {
               fast = fast->next->next;
              low = low->next;
              if(fast == low)
               {
                   encounter = fast;
                   return true;
               }
          }
         // fast == NULL || fast->next == NULL
         encounter = NULL;
         return false;
}

问题2：若存在环，如何找到环的入口点（即上图中的结点E）？
解答：
        如图中所示，设链起点到环入口点间的距离为x，环入口点到问题1中fast与low重合点的距离为y，又设在fast与low重合时fast已绕环n周（n>0），且此时low移动总长度为s，则fast移动总长度为2s，环的长度为r。则
s + nr = 2s,n>0       ①
s = x + y                   ②
由①式得
s = nr                 
代入②式得
nr = x + y
x = nr - y                   ③
         现让一指针p1从链表起点处开始遍历，指针p2从encounter处开始遍历，且p1和p2移动步长均为1。则当p1移动x步即到达环的入口点，由③式可知，此时p2也已移动x步即nr - y步。由于p2是从encounter处开始移动，故p2移动nr步是移回到了encounter处，再退y步则是到了环的入口点。也即，当p1移动x步第一次到达环的入口点时，p2也恰好到达了该入口点。于是函数可写如下：
Node* findEntry(Node* head, Node* encounter)
{ 
          Node *p1 = head, *p2 = encounter;
         while(p1 != p2)
         {
                p1 = p1->next;
               p2 = p2->next;
          }
         return p1;
}

        前面提到，若有环，则low进入环后，在环绕一周之前，必然能够与fast（同向）相遇（或称重合）。分析如下：

        当low到达环上时（也就是low遍历到了交叉点处），fast肯定已在环上某个结点处（因为fast是先于low进入环上的，之后就一直在环上打转转）。由于fast速度是low的两倍，所以low在环绕一圈回到交叉点之前，必定能被fast追上并且超越（实际上low最多走完半圈就会被fast给追上）。

        在low完成第一圈之前，fast肯定是能够追上并且超越low，但为什么说fast能够与low重合呢？有没可能fast在追上low时直接把low跨越过去了而不是重合呢？答案是不可能。fast在low后面追逐时，与low的最近距离必定是1，此时low继续走出一步，与fast的距离变为2，然后轮到fast继续走出一步，由于fast走出一步的步长为2，所以fast就会与low重合。看起来fast与low的最近距离还可能是2，实则不然，因为此时如果low与fast同时走出一步后，距离仍然会变成1。总之，在low完成第一圈之前，fast必定能够追上low，并且与low重合。

        透过以上的分析可以发现，如果快迭代器的步长是3或者3以上，则在low完成第一圈之前，fast也肯定会追上并超越low，但却有可能把low跨越过去了，而不是与low重合。