匈牙利算法——最大匹配

问题简介：

二分图是指这样的图：图的顶点分成X和Y两个集合，同一个集合的顶点不存在边相连，只有不同集合的顶点才有可能有边直接相连。二分图的一个匹配是指求出一个边的集合，使得集合里任意两条边都没有公共的顶点，也就是说一个顶点最多只属于一条边。

简单地看，二分图的一个匹配给出了一个X集合的某些顶点Y集合的某些顶点的一个一一映射。

二分图的最大匹配(maximal matching)就是找出边数最大的边集，也就是求最多有多少个顶点可以被匹配上。

如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配，也称作完备，完美匹配。

 

算法描述：

求最大匹配的一种显而易见的算法是：先找出全部匹配，然后保留匹配数最多的。但是这个算法的时间复杂度为边数的指数级函数。因此，需要寻求一种更加高效的算法。下面介绍用增广路求最大匹配的方法(称作匈牙利算法，匈牙利数学家Edmonds于1965年提出)。

 

增广路的定义(也称增广轨或交错轨)：

一条增广路的概念是指找一条已经被匹配上的边和未被匹配上的边相互交替的路径，这条路径长度为奇数并且未被匹配上的边比被匹配上的边多1。（因为，我要从左边匹配到右边）通过把增广路上未被匹配上的边改为匹配上的边，而匹配上的边全部改为未被匹配上的边，就可以把匹配数加1。

如果这样的增广路不能被找到，算法结束。

这是一种用增广路求二分图最大匹配的算法。它由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。 定义 未盖点：设Vi是图G的一个顶点，如果Vi 不与任意一条属于匹配M的边相关联，就称Vi 是一个未盖点。

 

交错路：设P是图G的一条路，如果P的任意两条相邻的边一定是一条属于M而另一条不属于M，就称P是一条交错路。

可增广路：两个端点都是未盖点的交错路叫做可增广路。

 

 

流程图

 

伪代码：

[cpp] view plaincopy

1. bool 寻找从k出发的对应项出的可增广路  
2. {  
3.     while (从邻接表中列举k能关联到顶点j)  
4.     {  
5.         if (j不在增广路上)  
6.         {  
7.             把j加入增广路;  
8.             if (j是未盖点 或者 从j的对应项出发有可增广路)  
9.             {  
10.                 修改j的对应项为k;  
11.                 则从k的对应项出有可增广路,返回true;  
12.             }  
13.         }  
14.     }  
15.     则从k的对应项出没有可增广路,返回false;  
16. }  
17.    
18. void 匈牙利hungary()  
19. {  
20.     for i->1 to n  
21.     {  
22.         if (则从i的对应项出有可增广路)  
23.             匹配数++;  
24.     }  
25.     输出 匹配数;  
26. }  

 

演示：

 

C实现（作者BYVoid）

[cpp] view plaincopy

1. #include <stdio.h>  
2. #include <string.h>  
3. #define MAX 102  
4.    
5. long n,n1,match;  
6. long adjl[MAX][MAX];  
7. long mat[MAX];  
8. bool used[MAX];  
9.    
10. FILE *fi,*fo;  
11.    
12. void readfile()  
13. {  
14.     fi=fopen("flyer.in","r");  
15.     fo=fopen("flyer.out","w");  
16.     fscanf(fi,"%ld%ld",&n,&n1);  
17.     long a,b;  
18.     while (fscanf(fi,"%ld%ld",&a,&b)!=EOF)  
19.         adjl[a][ ++adjl[a][0] ]=b;  
20.     match=0;  
21. }  
22.    
23. bool crosspath(long k)  
24. {  
25.     for (long i=1;i<=adjl[k][0];i++)  
26.     {  
27.         long j=adjl[k][i];  
28.         if (!used[j])  
29.         {  
30.             used[j]=true;  
31.             if (mat[j]==0 || crosspath(mat[j]))  
32.             {  
33.                 mat[j]=k;  
34.                 return true;  
35.             }  
36.         }  
37.     }  
38.     return false;  
39. }  
40.    
41. void hungary()  
42. {  
43.     for (long i=1;i<=n1;i++)  
44.     {  
45.         if (crosspath(i))  
46.             match++;  
47.         memset(used,0,sizeof(used));  
48.     }  
49. }  
50.    
51. void print()  
52. {  
53.     fprintf(fo,"%ld",match);  
54.     fclose(fi);  
55.     fclose(fo);  
56. }  
57.    
58. int main()  
59. {  
60.     readfile();  
61.     hungary();  
62.     print();  
63.     return 0;  
64. }