最大间隙问题

问题描述：                    

     给定n个实数x1,x2,...,xn,求这n个实数在实轴上相邻2个数之间的最大差值,要求设计线性的时间算法。

解：

如果不考虑题目的限制条件，那么这道题目不难，很容易想到将这n个实数进行排序，然后遍历，那么所用时间为

Z = T(N) +　Ｇ(N) 其中，T(N) 为对那个实数进行排序所需要的时间，G（N）为遍历n个实数的时间 。

目前我们所知道的最优的排序效率是 nlogn的。所以这条路走不通。

我的想法：将这n个实数都下取整，那么这n个实数都会落到实数轴上整数点上，有可能发生的情况是

 1.多个实数下取整后对应实数轴上的一个整数点，我们只保存这个点处的最大最小值，其他中间值不做记录。(最大间隙一定不会在这些数中)

 2.某些整数点处只有一个对应的下取整后的实数。

 3.某些整数点处没有对应的下取整后的实数。

                  (1)找到n个实数中的最小值和最大值，下取整，min max;

  (2)float low[max - min +1]  high[max - min +1] 若有多个实数对应，用于记录对应整数点处最小最大值；float buckets[max - min +1]用于记                         录只 有一个实数对应是的实际实数值。bool flag[max -min +1] 用于标记是只有一个对应还是多个，为之后遍历提供方便。

      vector<int> stable 用于记录出现过一个以上元素对应的桶序号。

  (3)遍历n个实数，将这些点下取整后放入这些桶中。

                  (4)这次是遍历有一个以上元素对应的桶，找到最大间隙。

例如如下9个实数：-4.1  -4.2   -2.3    0.5    1.2    2.3    2.7    5.6    5.9 

  

以上分析虽然可以做到时间复杂度线性增长，有一个问题就是空间复杂度可能很高，比如说一组实数的最大最小值之间相差很大很大的时候。

另外一种算法（王晓东书上讲过的）：用鸽巢原理。

除了max 和 min 外的n-2个数被置于n-1个桶中，由鸽巢原理即知，至少有一个桶是空的，这意味着最大间隙不会出现在同一个同种的两个数之间，对每一个桶做一次线性扫描即可找到最大间隙。