d叉堆
来源:互联网 发布:如何建立网络链接 编辑:程序博客网 时间:2024/05/18 02:04
d叉堆
6-2 对d叉堆的分析
d叉堆有与二叉堆很类似,但(一个可能的例外是)其中的每个非叶结点有d个子女,而不是2个。
a)如何在一个数组中表示一个d叉堆?
b)含n个元素的的叉堆的高度是多少?
c)给出d叉最大堆的EXTRACT-MAX的一个有效实现,并用d和n表示出它的运行时间。
d)给出d叉堆的INSERT的一个有效实现,并用d和n表示出它的运行时间。
e)给出INCREASE-KEY(A, i, k)的一个有效实现,该过程首先执行A[i]<--max(A[i], k), 并相应的更新d叉最大堆的结构。请用d和n表示出它的运行时间。
分析与解答:
类似于二叉堆,可以用数组来表示
a)在数组中表示d叉堆,给定了每个结点的下标i,其父结点PARENT(i)和它的第k个儿子,可以简单的计算出来:
PARENT(i) = ⌈i/d⌉
CHILD(i,k) = d*i+k, 0≦k<d
b)高度为h的一个满的d叉堆的结点个数为d^h-1。假设若n个元素的d叉堆高度为h,则
d^(h-1)≦n≦d^h-1
由此可得 d= ⌈logd(n)⌉
c) 可以先将堆末元素和堆顶的元素交换,然后再采用MAX-HEAPIFY的方法调整堆顶元素,整个过程如下:
- HEAP-EXTRACT-MAX(A)
- if heap-size[A]<1
- then error "heap underflow"
- max←A[1]
- A[1]←A[heap-size[A]]
- heap-size[A]←heap-size[A]-1
- MAX-HEAPIFY(A,1)
- return max
其中MAX-HEAPIFY是一个递归过程,迭代次数小于堆的高度logd(n)。而,每次迭代的过程中都需要和所有的儿子结点进行比较,故比较次数为d。总的时间运行时间为dlogd(n)
d)可以首先将-∞插入到堆末,然后将这个元素的值调用INCREASE-KEY增大到当前值。整个过程如下:
- MAX-HEAP-ISNERT(A, key)
- heap-size←heap-size+1
- A[heap-size]←-∞
- INCREASE-KEY(A, heap-size[A], key)
从接下来的也可以看到,它和INCREASE-KEY过程的运行时间相同,也为logd(n)
e)可以迭代的实现,每次只需要和父结点比较,然后逐渐往上调整即可,整个过程如下:
- INCREASE-KEY(A,i,k)
- A[i]←max(A[i],k)
- while i>1 and A[i]> A[parent(i)]
- do exchange A[i]↔A[parent(i)]
- i←parent(i)
因为while循环中最多往上调整的次数为堆的高度,并且每次只需要和父亲结点进行比较,因此总的运行时间为logd(n)
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