活动安排问题(贪心算法)

设有n个活动的集合E={1,2,...,n},其中每个活动都要求使用同一资源，如演讲会场等，而在同一时间内只有一个活动能使用这一资源。每个活动i都有一个要求使用该资源的起始时间si和一个结束时间fi，且si<fi。如果选择了活动i，则它在半开区间[si, fi)内占用资源。若区间[si, fi)与区间[sj, fj)不相交，则称活动i与活动j是相容的。也就是说，当si>=fi或sj>=fi时，活动i与活动j相容。活动安排问题就是要在所给的活动集合中选出最大的相容活动子集合。

在下面所给出的解活动安排问题的贪心算法GreedySelector中，各活动的起始时间和结束时间存储于数组s和f中且按结束时间的非减序：f1<=f2...<=fn排列。如果所给出的活动未按此序排列，可以用O(nlogn)的时间重排。

template<class Type>void GreedySelector(int n, Type s[], Type f[], bool A[]){A[1] = true;int j=1;for(int i=2; i<=n; i++){if(s[i]>=f[j]){A[i]=true;j=i;}else{A[i]=false;}}}

算法GreedySelector用集合A来存储所选择的活动。活动i在集合A中，当且仅当A[i]的值为true。变量j用以记录最近一次加入到A中的活动。由于输入的活动是按其结束时间的非减序排列的，fi总是当前集合A中所有活动的最大结束时间，即
                                   fi=max{fk}

        贪心算法GreedySelector一开始选择活动1，并将j初始化为1。然后依次检查活动i是否与当前已选择的所有活动相容。若相容则将活动i加入到已选择活动的集合A中，否则不选择活动i，而继续检查下一活动与集合A中活动的相容性。由于fi总是当前集合A中所有活动的最大结束时间，故活动i与当前集合A中所有活动相容的充分且必要的条件是其开始时间si不早于最近加入集合A中的活动j的结束时间fj，即si>=fj。若活动i与之相容，则i成为最近加入集合A中的活动，并取代活动j的位置。由于输入的活动以其完成时间的非减序排列，所以算法GreedySelector每次总是选择具有最早完成时间的相容活动加入集合A中。直观上，按这种方法选择相容活动为未安排活动留下尽可能多的时间。也就是说，该算法的贪心选择的意义是使剩余的可安排时间段极大化，以便安排尽可能多的相容活动。

由于输入的活动以其完成时间的非减序排列，所以算法greedySelector每次总是选择具有最早完成时间的相容活动加入集合A中。直观上，按这种方法选择相容活动为未安排活动留下尽可能多的时间。也就是说，该算法的贪心选择的意义是使剩余的可安排时间段极大化，以便安排尽可能多的相容活动。
       算法greedySelector的效率极高。当输入的活动已按结束时间的非减序排列，算法只需O(n)的时间安排n个活动，使最多的活动能相容地使用公共资源。如果所给出的活动未按非减序排列，可以用O(nlogn)的时间重排。

贪心算法并不总能求得问题的整体最优解。

贪心算法通过一系列的选择来得到问题的解。它所做的每一个选择都是当前状态下局部最好选择，即贪心选择。