研究二分搜索算法

二分搜索的深入研究

（特别提醒，我喜欢大家关注文章本身，而不是我的排版~，虽然咱的文章没人看，但也要友好提示~）

直接进入正题，节约大家时间，二分搜索简单的我都不好意思来写，但是为了循序渐进的来，还是一步一个脚印子实在！哈哈

先说下为什么要用二分搜索，直接通俗的例子就是~你和我玩游戏，如果你心里想出来一个数字，让你猜我想的是多少？你每次猜过，我都提示你，你所猜的数字与我想的

数字的大小关系，比如我们俩规定我想一个100以内的数字，比如我想的是37，你首先会猜50，我说大了，你猜25，我说小了，直至你将我所猜的数字答出为止。

• 这肯定要比你直接从1问到100来猜我所想的数字快的多的多。那么如果你每次猜中间，大约几次能猜出答案呢？

①很简单我们粗略来算，太精确也没多少意义，100>2^6(我真心不会排版！100大于2的6次方) 100<2^7。

关键的一句是① ,它表明什么？由于100小于128，对于128来说，你运气再差也应该在7次内找到我所想的数字，因为每次二分切割128都会除以2，那么他除以2七次也就是等于1，也就是说经过7次筛选就剩下一个数字，那么这一个就是答案。

所以我们可以粗略的来统计，如果按照这样的查找，N个已排序的数据来说  2^m-1<N<=2^mm的取值范围我就不详细写了，数学内容我尽量写出核心而不是严谨，太严谨就太枯燥了。 由于对数函数lg(以后我的lg表示以2为底）是单调递增的函数（f(x)单调递增就是说p>q则f(p)>f(q),  f(p)>f(q)则p>q,可以下个软件看下对数函数的图形表示，不解释了。），所以 lg2^m-1<lgN<=lg2^m ==>>  m-1<lgN<=m 所以就得出啥子呢？最多查找数字为m次

定理哦亲~二分查找在N（设N为 2^m-1<N<=2^m）个排序的数据中查找一个元素最多需要m次。

上取整函数为：ceiling，也就是最多需要ceiling（lgN)次~ 下次你可以直接拿来用 而不是思前想后，因为我们证明啦。（虽然不是数学的那种形式化的证明，而且也不是非常严谨，但是对于理解足够了。）

也就是说 就算有2^32个已排序的数据，我们也可以在32次之内找出他，运气烂到渣也不过32次就找到了！这就是二分查找的威力之所在，快！快！快！恕我才疏学浅，我没找到比它更快的查找。如果你知道，请告诉我，互相学习~

缺点很明显喽，数据必须排好序！这也是我们学习排序算法的源动力啊。

我先给出二分搜搜的代码把，java写着比较简单，不用考虑一些内存等杂七杂八的问题。

public static int binary_search(int key, int[] a) {//a是排好序的数组，key要找的在数组中的索引，int是返回key在数组索引，没找到返回-1
int lo = 0; //做个游戏，你猜我心里想的数~ 咱俩规定好，我想的数字的范围~ 自然要初始化这个范围喽，lo和hi
int hi = a.length - 1;
while(lo<=hi) {//这个是个关键,等会解释
//为了便于理解，我在这里加一句循环的不变量（也就是说每次循环我的这句话都成立！）：
//如果这个key在数组中 那么就必然在[lo,hi]这个区间中，你自己分析，每次循环这个不变量都在缩小
    int mid = lo+(hi-lo)/2;//你脑子里肯定会想，既然要猜就猜中间那个吧~
    if(key<a[mid]) hi = mid-1; //我回答的是小啦~ 你会咋样？肯定范围缩小啦
    else if(key>a[mid]) lo = mid+1;//我回答的是大啦~ 我希望我的注释对于你来说是多余的~
    else return mid; //如果相等就返回了
}
return -1;//前面竟然没返回，那肯定是没有喽。
}
循环退出的条件证明：首先你或许会说，如果这个lo>hi了 待查数据的所在的区间肯定是不存在，自然循环就结束了。可是我问你，这个循环会出现死循环吗？也就是说，随着这个循环不停的运行如果数据不存在lo会大于hi吗？
看下代码不就知道啦，如果数据不存在，则每次一的循环都会增加lo 或者减少hi。当lo>hi时，就肯定不存在这个区间中了。总有一天~~会结束！
文中有错得话，强烈欢迎提出，这也是我写博客的核心源动力之一。以后排版会加强，我们先研究思想，再谈算法。
下集我们讨论下：递归吧，我想我对二分搜索还有递归的实现，以及还有很多话要说，还是有点自己的见解在里面的，欢迎来探讨~
下次博客的内容我先说下，你们也好自己研究一下，然后我们探讨，这样提高的快！真心的快！（我的自学经验，毫无保留的说）
第一，实现二分查找的递归算法。
第二，如果数组中（暂时先研究数组吧。。）当然是已经排好序的，我们带查得元素 有重复，比如：0，1，2，3，4，4，4，4，8，9我们目前的二分查找只能随机的找出4的索引，我们要实现能找出这个元素第一次出现的位置，比如这里 位置就是第五个元素，而不是随意的 5 6 7 8位置。
第三，汉诺塔的递归实现，网上资料很多。
第四，约瑟夫的问题程序的解决（你会看到代数分析会让问题有奇解）
第五，欧几里得算法，soeasy~
上面五个问题，大家可以上网查资料，来学习，然后我们探讨~目的只有一个，互相学习，快速进步~